Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
т. е. погрешность Дq совпадает с дебройлевской длиной волны частицы *).
Для фотонов всегда имеет место ультрарелятивистский случай, так что справедливо выражение (1,5). Это значит, что о координатах фотона имеет смысл говорить только в тех случаях, когда характеристические размеры задачи велики по сравнению с длиной волны. Но это есть не что иное, как «классический» предельный случай, соответствующий геометрической оптике, в которой можно говорить о распространении света вдоль опре-
х) Речь идет об измерениях, для которых из любого результата опыта можно сделать заключение о состоянии электрона, т. е. мы отвлекаемся от измерений координат с помощью столкновений, когда за время наблюдения результат осуществляется не с вероятностью 1. Хотя из факта отклонения измерительной частицы в таком случае можно заключить о местоположении электрона, но из отсутствия отклонения вообще нельзя сделать никаких выводов.
20
ВВЕДЕНИЕ
деленных траекторий —лучей. В квантовом же случае, когда длина волны не может рассматриваться как малая, понятие координат фотона становится беспредметным. Мы увидим в дальнейшем (§ 4), что в математическом формализме теории неизмеримость координат фотона проявляется уже в невозможности составить из его волновой функции величину, которая могла бы играть роль плотности вероятности, удовлетворяющей необходимым требованиям релятивистской инвариантности.
На основании всего сказанного естественно думать, что будущая теория вообще откажется от рассмотрения временного хода процессов взаимодействия частиц. Она покажет, что в этих процессах не существует точно определяемых характеристик (даже в пределах обычной квантовомеханической точности), так что описание процесса во времени окажется столь же иллюзорным, какими оказались классические траектории в нерелятивистской квантовой механике. Единственными наблюдаемыми величинами будут являться характеристики (импульсы, поляризации) свободных частиц —начальных частиц, вступающих во взаимодействие, и конечных частиц, возникших в результате процесса (Л. Д Ландау, R. Peierts, 1930).
Характерная постановка вопроса в релятивистской квантовой теории состоит в определении амплитуд вероятности переходов, связывающих заданные начальные и конечные (т. е. при t — состояния системы частиц. Совокупность этих амплитуд между всеми возможными состояниями составляет матрицу рассеяния или S-матрицу. Эта матрица будет носителем всей информации о процессах взаимодействия частиц, имеющей наблюдаемый физический смысл (W. Heisenberg, 1938).
В настоящее время полной, логически замкнутой релятивистской квантовой теории еще нет. Мы увидим, что существующая теория вносит новые физические аспекты в характер описания состояния частиц, приобретающего некоторые черты теории поля (см. § 10). Она строится, однако, в значительной мере по образцу и с помощью понятий обычной квантовой механики. Такое построение теории привело к успеху в области квантовой электродинамики. Отсутствие полной логической замкнутости в этой теории проявляется в появлении расходящихся выражений при прямом применении ее математического аппарата, но для устранения этих расходимостей существуют вполне однозначные способы. Тем не менее эти способы в значительной степени сохраняют характер полуэмпирических рецептов, и наша уверенность в правильности получающихся таким путем результатов основана в конечном счете на их прекрасном согласии с опытом, а не на внутренней согласованности и логической стройности основных принципов теории.
ГЛАВА I ФОТОН
§ 2. Квантование свободного электромагнитного поля
Поставив себе целью рассмотреть электромагнитное поле как квантовый объект, удобно исходить из такого классического описания поля, в котором оно характеризуется хотя и бесконечным, но дискретным рядом переменных; такое описание позволит непосредственно применить обычный аппарат квантовой механики. Представление же поля с помощью потенциалов, задаваемых в каждой точке пространства, есть по существу описание с помощью непрерывного множества переменных.
Пусть А (г, г) — векторный потенциал свободного электромагнитного поля, удовлетворяющий «условию поперечности»
div А = 0. (2,1)
При этом скалярный потенциал Ф = 0, а поля Е и Н:
Е = —А, Н = rot А. (2,2)
Уравнения Максвелла сводятся к волновому уравнению для А:
ДА—^- = 0. (2,3)
Как известно (см. II, § 52), в классической электродинамике
переход к описанию с помощью дискретного ряда переменных
осуществляется путем рассмотрения поля в некотором большом, но конечном объеме пространства V1). Напомним, как это делается, опустив детали вычислений.
Поле в конечном объеме может быть разложено на бегущие плоские волны, так что его потенциал изобразится рядом вида
A=S(akelkr + ake-ikr), (2,4)
к
где коэффициенты ак зависят от времени по закону
ак~е-ио*, <й=|к|. (2,5)
В силу условия (2,1) комплексные векторы ак ортогональны соответствующим волновым векторам: akk = 0.
!) Во избежание загромождения формул лишними множителями будем полагать V=1.
22
ФОТОН
[Гл. I
Суммирование в (2,4) производится по бесконечному дискретному набору значений волнового вектора (его трех компонент kx, ky, kz). Переход к интегрированию по непрерывному распределению можно произвести с помощью выражения
