Методика решения задач механики - Беляшкин А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
движения будет иметь нормальную форму, аналогичную нормальной форме в
окрестности положения равновесия. Таким образом, задача об орбитальной
устойчивости периодических движений сводится к задаче об устойчивости по
Ляпунову по отношению к локальным координатам.
210 ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ ВБЛИЗИ L, [ГЛ. 12
В нашей задаче схематически конструктивное применение локального метода
можно представить в виде последовательности следующих операций:
1) получение исследуемого периодического движения в переменных действие -
угол;
2) введение в окрестности периодического движения локальных координат и
получение функции Гамильтона возмущенного движения;
3) переход к новой независимой переменной "угол", линейная нормализация и
получение выводов об устойчивости в линейном приближении;
4) возвращение к старой независимой переменной и проведение нелинейной
нормализации функции Гамильтона;
5) на основании свойств коэффициентов нормальной формы функции Гамильтона
получение выводов об орбитальной устойчивости периодического движения.
§ 4. Орбиты первого приближения
Если в функции Гамильтона (3.1) главы 7, описывающей движение
вблизи Li, сделать (при е = 0) замену переменных по фор-
мулам (4.2) главы 7, а затем по формулам
q'i = -T=4*, p]==V^pf (/ = 1,2), (4.1)
V*7
то она примет такой вид:
Н* = Я* + Я* + • • • + #* + • • .. (4.2)
где
н* + **'>'
fc=l / ^ m
т - 2л 'K'1v,vsaiH!Hs(7i Яч Чз Pi Рч Рз v,+...-H*"="n
(т > 3).
Решение системы линейных дифференциальных уравнений с функцией Гамильтона
Я2 имеет вид
qt = ак cos ( | кк | v + Р*), pt = (-l)fc Щ sin (| К I v -f Рк) (4.4)
(к = 1, 2, 3),
где ак, Рк - произвольные постоянные, зависящие от начальных условий.
Если начальные условия таковы, что все ак при к Ф I равны нулю, то
уравнения (4.4) будут описывать первое приближение периодического
движения I, II или III типа (I - номер типа не-
ОРБИТЫ ПЕРВОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ
211
риодичейкого движения, равный соответственно 1, 2, 3). Периодические
движения III типа в первом приближении представляют собой линейные
колебания (с частотой, равной единице) в направлении, перпендикулярном
плоскости вращения основных тел. Рассмотрим подробнее периодические
движения I и II типов. В координатах (см. главу 7) эти движения
можно записать в виде
В системе координат ЬкдЩгЧг уравнения (4.5) представляют собой записанные
в параметрическом виде уравнения эллипсов с
центром в Большие полуоси эллипсов наклонены к оси L^qi под углом у,
определяемым соотношением
и при 0 < ц < ц* равным приблизительно 30°. Эксцентриситеты эллипсов
вычисляются по формулам
и одинаковы для всех начальных условий. Графические зависимости
эксцентриситетов эллипсов ег от параметра р приведены на рис. 22. Из рис.
22, в частности, видно, что при всех р. эксцент-
91 = -^- (4й)* + 9)cos (M/v + Рг).
= - "17 {"Чг~ ^ - 2(Х) cos + Р*) + 2о)г sin + Рг)}> (4-5)
g3 = 0 (I = 1, 2), z, = VM2Xf - 1) (4X? + 9).
Рис. 22. Зависимость эксцентриситетов орбит первого приближения ех и е2
от отношения масс основных тел р.
Рис. 23. Ляпуновские орбиты первого приближения вблизи точки Li в системе
Земля - Луна.
tg 2у = /3 (1 - 2р)
212
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ ВБЛИЗИ L,
[ГЛ. 12
риситет короткопериодических орбит меньше эксцентриситета
долгопериодических орбит. На рис. 23 схематически представлены
эллиптические короткопериодические (т1=2я/со1) и долгопериодические (т2 =
2я/(02) орбиты первого приближения для соотношения масс системы Земля -
Луна (р = 0,0121507 . . ., ех = 0,87 . . ., е2 = 0,98 . . .).
§ 5. Построение периодических движений
Для построения периодических движений нелинейной задачи воспользуемся
методом канонических преобразований, но в виде, несколько отличном от
преобразований работ [116, 117].
Представим формы Нт из (4.2) в таком виде:
т
н*т = 2 \Hl т_5, (5.1)
5=0
•К
где Hs, т-а означает совокупность членов степени s по переменным
(координата и импульс qf, pf) с номером 1(1 - номер типа периодического
движения) и степени т - s по остальным переменным. Сделаем теперь такое
каноническое преобразование:
д*, Р* -> Як, Рк (А = 1,2, 3), (5.2)
чтобы во всех формах новой функции Гамильтона Н нормализовать члены НтЛ и
уничтожить члены Нт-1Л. Такое преобразование будет сходящимся [28, 72].
Преобразование (5.2), как и вообще все дальнейшие нелинейные
нормализующие канонические преобразования этой главы, проводилось методом
Депри - Хори. Этот метод использовался в модификации Мерсмана [156].
Рассмотрим подробнее преобразование (5.2). Производящую функцию Т этого
преобразования, зависящую только от новых переменных, представим в виде
Т=Т3-\-...-\- Тт + . . . (5.3)
Тогда операторное уравнение для определения коэффициентов производящей
функции и новой функции Гамильтона имеет вид
D0Tm = йш-Нт (т = 3, . . .), (5 4)
где оператор D0 определяется следующим образом:
ПТ
{Uflm)-- 2_i[ dqk Эрк dp^dq^ /с-1
В (5.4) функции Нт выражаются через функции
Т*
(5.5)
н1 . . ., Hi, Нг, . . ., Hm.t, тз, . . ., Тт-!. (5.6)
