Методика решения задач механики - Беляшкин А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
ПОСТРОЕНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЙ
213
Операторное уравнение для определения коэффициентов производящей функции
и новой функции Гамильтона будет иметь вид (5.4) независимо от алгоритма
нормализации, будь то классический алгоритм Биркгофа, алгоритм Депри.-
Хори или какой-нибудь другой алгоритм нелинейных канонических
преобразований. С формальной точки зрения отличие между этими алгоритмами
нормализации заключается только в способе вычисления функций йт через
функции (5.6). При использовании алгоритма Депри - Хори в модификации
Мерсмана нужные нам в дальнейшем формы йт выражаются через функции (5.6)
с помощью соотношений
#* = я;,
Я* = Я? + 4- Я 3 (Я* + Я,), (5.7)
я* = я? + 4-^з[я* + я4 + 4-Я3 (Я* - Я")] + 4 Я*(Я3* + Я*).
Здесь i
Я"/ = (/• Г"). (5.8>
Если уравнения (5.4) для всех т уже решены и найдены соответствующие
члены разложения производящей функции в ряд
(5.3), то полученное таким образом преобразование (5.2) будет иметь вид
оо ОО
Я* = Ч* + ^ 4т Р* = р* + тгг °тР* (5-9^
т=1 т-1
где D - оператор, определяемый формулой
оо
D = 2 Dn,
п=з
а операторы\Dm определяются так:
D°f = /, Dxf = Df = (/• Г), . . ., Я(tm)*1/ = D (Dmf), . . .
Здесь / - произвольная функция переменных qк, рк.
Уравнение (5.4) для определения коэффициентов производящей функции Т
преобразования (5.2) и коэффициентов новой функции Гамильтона Н в каждом
порядке тп относительно координат и импульсов распадается на группы,
соответствующие членам 77*j в представлении (5.1); это означает, что
нормализацию этих членов можно проводить независимо друг от друга. При
нормализации членов Ни в выражениях для коэффициентов производящей
функции преобразования (5.2) появляются знаменатели вида
di, j - ^г (v; - И-/) + 2 (vk - И*),
¦214
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ ВБЛИЗИ L,
(ГЛ. 12
где
vi + Ич = i, S (vk + fJ-fc) = 7-
Пусть резонансы вида (2.6) отсутствуют, т. е. пусть выполнено требование
а) теоремы Ляпунова о голоморфном интеграле. В этом ¦случае во всех
формах Нт новой функции Гамильтона члены вида Ят_1Д можно уничтожить
полностью, потому что соответствующие этим членам знаменатели в нуль не
обращаются. Кроме того, так как числа Я,г (Z = 1, 2, 3) не обращаются в
нуль при рассматриваемых значениях параметра р., то в случае нечетного т
члены Нт1} также можно уничтожить полностью. В случае четного т эти члены
можно нормализовать и представить в виде
т т
#т, о = ст, г ¦ 2 2 (9г ~Г Р?) 2 > (5.10)
где ст>; (т = 4, 6,. . .; I - 1, 2, 3) - величины, зависящие лишь от
параметра задачи р и являющиеся инвариантами функции Гамильтона
невозмущенного периодического движения относительно канонических
преобразований. Эти величины с точностью до множителя гп'21~т равны
постоянным gk, фигурирующим в выражении
(2.4) для периода т рассматриваемого периодического движения.
После проведения преобразования (5.2) первые члены разложения новой
функции Гамильтона
Я = Я2 + . . . + Нт + . . . (5.11)
имеют вид
з
#2 = irZM!7*+ р5)'
1-=1
Яз = Яь2 + Я0, з,
#4 = - С; (qf + Р?)2 + #2,2 + #1,з + #о,4>
#5 = #3,2 Т" #2,3 ~Т #1,4 + #0,51
где по-прежнему в формах Ягд первый индекс означает их степень по
переменным с номером I, второй индекс - степень этих форм по остальным
переменным, а сг = с4Л.
Так как совокупность переменных qit pt (i = 1, 2, 3; i ф I) входит в
функцию Гамильтона (5.11) в степени не ниже второй, дифференциальные
уравнения движения допускают частные решения, соответствующие
периодическим движениям, для которых qi - Pi = 0, а изменение переменных
qh Pi описывается
ГАМИЛЬТОНИАН ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ
215
следующими дифференциальными уравнениями:
-JT = -jf = hPi + Pi т21~тсгт! i (qt + pbm~x,
(5.12)
dp, dt
1 m-2
В переменных "действие" I - "угол" w, связанных с q,, р, формулами
q, = У"21 sin w, p, - \r2I cos w, (5.13)
уравнения (5.12) принимают вид
т = °' ¦§"=*¦ + Х>с-<5Л4>
т=2
Решение уравнений (5.14) записывается так:
I = /0 = const, w = Q (I0)(t - ?о) + и?oi (5.15)
где частота и период периодического движения (5.15) вычисляются по
формулам (за единицу времени принята величина периода обращения тел
конечных масс по их круговым орбитам)
ОО
Q (70) = I, + 2 тсът, ;С_1> * = 2я/| Q |. (5.16)
т=2
Из (5.16), в частности, видно, что при /0-> О период движения стремится к
величинам 2я/(0!, 2я/со2 или 2я соответственно для периодических движений
I, II или III типа.
§ 6. Гамильтониан возмущенного движения
Будем исследовать устойчивость периодического движения (5.15) по
отношению к возмущениям частоты периодического движения (или, что то же
самое, по отношению к возмущениям переменной "действие" 10 невозмущенного
периодического движения) и по отношению к возмущениям qt, pt (i = 1, 2,
3; i Ф I).
Пусть e = У2/0 - малая, но конечная, величина (рассматриваются малые
периодические движения). Пусть I - переменная "действие" возмущенного
периодического движения, связана с Iо соотношением
I - ~2~е2 + г!' (6-1)
где гi - возмущение переменной "действие". Знак величины г.
