Методика решения задач механики - Беляшкин А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
формулам
ri - ri + ~ = Гг -^1,2 + ^2,2 + • • ч w = w*, (8.16)
где
Sm, 2 = |'Qw Pw ^ Sm, 2 (w* = 1,2,...). (8.17)
Тогда, вместе с описанным выше преобразованием переменных qi, pi, qj, Pj,
получим каноническое преобразование, нормализующее функцию (8.3) по всем
переменным. В резонансном случае нормальная форма будет такой:
К2= S + Hel^^sin (2<р* - Nw) + О (glNI+1), (8.18)
Ic=i, j, I
а в нерезонансном -
#2 = s *vk + 0(e|JV|+1)- (8'19)
fc=i, j, I
В (8.18) и (8.19) введены обозначения
П* = 2 (k = i, /), (8.20)
71=0
8 А. П. Маркеев
226
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ ВБЛИЗИ L,
1ГЛ. 12
Qi0) = 0(Г} - ^i2n) + ? 2-тсгт, ,Q2(n-m>,
* m=l
I ¦'VI
A = аХг2 2 .
Рассмотрим случай параметрического резонанса. Из точек р№ на оси Оц, для
которых выполнено соотношение (8.2), при малых значениях параметра е
будут исходить области параметрического резонанса (области неустойчивости
линейной системы с гамильтонианом (8.18)). Согласно [97] (см. также главу
2), границы областей параметрического резонанса в наших обозначениях
запишутся так:
Qi - ^7 Qi
При этом, если левая часть последнего соотношения будет меньше правой, то
рассматриваемое периодическое движение будет неустойчиво, а если больше,
то имеет место устойчивость в линейном приближении.
В плоскости параметров р, е уравнения кривых, выделяющих области
параметрического резонанса, будем искать в виде рядов
оо
р = р(0) А- 21 P(m)em. (8.22)
771=1
= \А \ ё|Лй.
(8.21)
Величины Q* (к = г, I) представим в виде рядов по степеням отклонений р
от порождающей точки р(0> оси Ох:
0.li = Qlc |ц=(1(о) + ^
1 за*
т
т!
ар"
И=д(0)
(Р - р<0>)"
(8.23)
Подставляя выражения (8.4), (8.20) и (8.22) в ряды (8.23), а затем
получившиеся выражения подставляя в уравнение границы области
параметрического резонанса (8.21) и приравнивая члены одинакового порядка
по е (до членов elwl включительно), найдем коэффициенты разложения р по
параметру е:
|ЛГ| = 1,
|ЛП = 2,
|ЛГ| = 3,
рЮ = ± рО) - 0, Р(1) =0,
А,
р<2> = б±
(2)
б, р1
А,
(3)
± А,
(8.24)
(8.25) (8.26
|ЛГ| = т, р" =0, р<*> =6, р<3> =0,. ..,
(8.27)
РЕЗОНАНСНЫЕ КРИВЫЕ
227
где
В (8.24) - (8.26) знаки "±" означают, что даются уравнения сразу двух
границ области параметрического резонанса.
§ 9. Резонансные кривые третьего и четвертого порядков
Пусть теперь параметры задачи таковы, что имеет место устойчивость
рассматриваемого периодического движения (5.15) в линейном приближении.
Тогда, проведя нормализацию линейной системы указанным в § 8 способом,
функцию Гамильтона (6.4) можно привести к виду
Здесь точками обозначены члены более высокого порядка относительно ё (или
относительно величин qw, pw из § 8).
Для выяснения вопроса об устойчивости в строгом (нелинейном) смысле
процесс нормализации функции Гамильтона надо продолжить.
При нелинейной нормализации гамильтониана (9.1) могут проявиться эффекты
резонансов третьего и четвертого порядков
где N - произвольное целое число, a Qк (к = I, i, j) определены формулами
(8.4) и (8.20). Если рассматривается плоская задача, то будем считать rij
= 0.
Прежде чем перейти к описанию процесса нелинейной нормализации, заметим,
что в плоскости параметров (Л, е соотношение (9.4) представляет собой
уравнение резонансной кривой, исходящей из
К = #2 + К3 ¦+ к, + . .
(9.1)
где К2 имеет вид (8.19), а
#з - К0,з + Кг,3 -Г К2,3 + . . .,
(9.2)
#0,3 - #0,3) #1,3 - #1,3 "Ь #1,2 #0,3)
#2,3 = #2,3 + #1,2 #1,3 #2,2#0,3)
#4 - Cfl + ~Г [#1,2 + #2,2 + •••] + #0,4 + • • •) (9-3)
#1,2 = #1,2, #2,2 - #2,2 + #1,2#1,2, #0,4 = #0,4 ~Г
*S'l,2#l,2-
"jQj + rijQj = NQh | rii | + | rij | = 3,4 (i, 7, I - 1, 2, 3; i I, j
I),
(9.4)
228
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ ВБЛИЗИ L,
[ГЛ. 12
точки оси 0\х. Величина р, (-0) является корнем уравнения
Эту же величину можно найти из табл. 10-14.
Уравнение резонансной кривой (9.4) будем искать в виде (8.22). 'Тогда,
подставляя выражения (8.4), (8.20) и (8.22) в ряды (8.23), а затем
получившиеся выражения подставляя в уравнение (9.4) и приравнивая члены
одинакового порядка по е, найдем коэффициенты разложения р в ряд по
малому параметру е.
Величина р<°> уже найдена; вычисления показывают, что величина pW равна
нулю, а величина р<2> определяется соотношением
Члены более высокого порядка по е в (8.22) лишь незначительно деформируют
квадратичную параболу р = р<°> + р(2> е2 и в дальнейшем не
рассматриваются.
§ 10. Нелинейная нормализация. Условия устойчивости
Рассмотрим сначала такие значения параметров р, е, которые принадлежат
резонансным кривым третьего или четвертого порядка. Прежде всего отметим,
что, согласно [157], в случае выполнения резонансного соотношения (11.4)
при пгп}<С 0 будет иметь место формальная устойчивость рассматриваемого
периодического движения.
Если параметры р, е принадлежат резонансной кривой, то форму третьего
порядка в функции Гамильтона (9.1) можно привести к виду
где а - постоянная величина. Процесс нормализации формы (9.2) полностью
аналогичен нормализации квадратичной части функции Гамильтона, которая
