Методика решения задач механики - Беляшкин А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
представление об устойчивости рассматриваемых периодических движений.
ГЛАВА 13
О ДВИЖЕНИИ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА ВБЛИЗИ ТРЕУГОЛЬНЫХ ТОЧЕК ЛИБРАЦИИ
СИСТЕМЫ ЗЕМЛЯ-ЛУНА С УЧЕТОМ СОЛНЕЧНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
§ 1. Влияние солнечных возмущений на движение космического аппарата,
помещенного в точку либрации
В предыдущей главе была рассмотрена задача о периодических движениях,
близких треугольным точкам либрации ограниченной задачи трех тел. Однако
для многих реально существующих систем задача трех тел является лишь
некоторым приближением. В конкретных астрономических задачах часто
необходимо учитывать еще возмущающие воздействия, обусловленные теми или
иными факторами, не учитываемыми в ограниченной задаче трех тел.
Так, например, при описании движения космического аппарата (КА) вблизи
треугольных точек либрации системы Земля - Луна следует в качестве
возмущений учитывать гравитационное воздействие Солнца. При исследовании
движения вблизи треугольных точек либрации с учетом солнечных возмущений
важно получить ответ на следующие три вопроса: 1) будет ли КА, помещенный
в точку L4 или Ь5, оставаться вблизи этих точек длительное время, 2)
какова природа движения КА за время порядка нескольких лет, 3) существуют
ли в окрестности точек либрации устойчивые орбиты? Ответы на эти вопросы
важны как в задачах небесной механики и астрономии, так и в задачах
использования точек либрации в космических исследованиях.
Исследование влияния гравитационного возмущения Солнца на движение КА
вблизи треугольных точек либрации системы Земля - Луна проводилось
численно и аналитически. Основные результаты в этой задаче получены в
работах американских ученых. Подробную библиографию этих работ можно
найти в монографии Себехея [175], статье Стега и де Ври [173] и работе де
Ври [178].
В этом параграфе излагаются результаты исследований Тэпли, Льюэллена и
Шульца [176, 177], касающиеся анализа влияния солнечных возмущений на
движение КА, помещенного в точку либрации L4 или вблизи нее. Исследования
[176, 177] основаны на численном интегрировании точных уравнений
движения. Применение численного анализа необходимо из-за того, что
попытки изучить движение КА посредством формальных методов теории
238
ДВИЖЕНИЕ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА ВБЛИЗИ В, [ГЛ. 13
возмущений, примененных к сложной системе дифференциальных уравнений
движения вблизи L4, оказались безуспешными. Дело в том, что один из
периодов линейных колебании невозмущенного Солнцем КА вблизи L4 (и Ь5)
почти равен синодическому месяцу (равному 29,53 сут), а солнечные
возмущения также содержат одну из гармоник с периодом, близким
синодическому месяцу [178]. Отмеченная соизмеримость приводит к появлению
малых знаменателей во многих членах предполагаемого решения,
представленного в виде ряда. Это не позволяет ограничиться в искомых
рядах разумным конечным числом членов.
Системы координат, использованные в работах [176, 177] при численном
исследовании движения вблизи Z/4, изображены на рис. 27. Предполагается,
что Земля и Луна движутся по круговым орбитам относительно их центра масс
О, который относительно Солнца движется также по круговой орбите.
Плоскость орбит Земли и Луны наклонена к плоско-углом 5°9'. Каждое из тел
счи-
Рис. 27.^Системы Чкоординат для описания движения космического аппарата
вблизи L..
сти эклиптики под постоянным тается материальной точкой.
Система координат OXYZ связана с центром масс Земли и Луны. Ось ОХ
направлена в точку весеннего равноденствия, ось OY лежит в плоскости
движения Земли и Луны, а ось OZ направлена по вектору их угловой
скорости. Вращающаяся система координат ? также связана с центром масс
Земли и Луны, ее ось направлена вдоль линии, соединяющей Землю и Луну,
ось Ог\ лежит в плоскости орбиты Земли и Луны, а ось OZ, совпадает с осью
OZ. Плоскость вращается вокруг оси О ? с той же угловой скоростью оо, как
и линия Земля - Луна.
Система координат Ltxyz имеет своим началом точку либрации L4 и
получается из системы координат ? параллельным переносом. Имеют место
формулы
I = X + Ъи, Ц = у + T1L,,
I
(1-1)
где |l4, тц.4 -константы, являющиеся координатами точки либрации L4. В
статье Тэпли и Льюэллена [176] получены следующие
ВЛИЯНИЕ СОЛНЕЧНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
239
уравнения движения КА в системе координат L&yz\
Д /т.
х = 2щ -f- (х -f- ElJ ft)2 -(- (х3 + Q2 -j- \ | -- (xi x),
Pi
3 i
ij = - 2a± + (y + T1L<)'(02 - (y3 + til4) Q2 + V (Vi - y), (1-2)
Pi
г=1 г
3 ,
z = - z3a2 + ^ -y--(zi -z)"
i=l Pi
где p? = (xi - xf + (yt - yf + (Zi - z)2; i = 1, 2, 3; Q -
угловая скорость движения центра масс Земли и Луны вокруг
Солнца, / - универсальная гравитационная постоянная, индексы 1, 2 и 3
относятся к Земле, Луне и Солнцу соответственно. Точкой в уравнениях
(1.2) обозначено дифференцирование по времени.
Во вращающейся системе координат LAxyz положения Земли и Луны фиксированы
и координаты Солнца вычисляются по формулам
х3 = R (cos ф cos 0 + cosi sin ф sin 0) - уз = - R (cos ф sin 0 - cos i
