Методика решения задач механики - Беляшкин А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
(4.2), для которой m = | N | + | щ | + | щ \ .
РЕЗОНАНСЫ
21ft
Таблица 11
т ж -, пространственная задача Ml
п Резонанс м Форма В* * т Порядок е Примечание
3 2 -j- (0-2 - 3(1)! 6 У% - 4 н": 3
25
• со г е II е 7/25 Н*ь 1
2 (1 + <в2) = Зсох 119/169 н* 3
2 (1 + со2) = 4о>г 7/25 н* 4
, 4 = 5coj 7/25 я* 5
Таблица 12;
2л
х ж -, плоская задача со2
п Резонанс м Форма В* е т Порядок е Примечание
1 1 2 я* 1 т/1 . -16JV2 Г 27 (Я2 + 1)2
Я2 + 1 "JV+1 2
II го оэ
2 2сог = Я со2 1 8 /V2 + 4 ТТ ¦ iV+2 ' Я Я = 2/с + 3
Л =0,1, 2,. . .
18 Я = 3/с + 4, Я = 3/с + О
3 Зо)! = Я со2 1 Я2 -г 9 WiV+3 Я II (c) ГО
4 4(0! = Ясо2 1 32 IV2 + 16 я* iV+4 N Я = 4/с + 5, Я =
4/с + /с =0,1, 2, . . . 7
том - порядок по е, в котором обнаруживается эффект данного-резонанса *)
(см. §§ 8-10).
Для исследования устойчивости в строгом нелинейном смысле при
нерезонансных значениях параметров (как это будет видно-
*) Резонансный эффект, соответствующий соотношению (7.1), обнаруживается
при учете в разложении функции Гамильтона (6.4) членов, порядок: которых
не ниже
220 ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ ВБЛИЗИ L, [ГЛ. 12
Таблица 13
2я
ta_, пространственная задача 0>2
. 6 CO
о
11 Резонанс м rt 5 6 О A & o к Примечание
2 2 = N<0, 1- 8? /V2 n 2V+2 yv /V = 3, 4, 5
з 2 - ">! = /Vco2 1 2 (5/V2- 3) + 87V У /V2 - 3 TT* n N+3 N
УУ = 2, 3, 4
(TV2-/- I)2
2-4-0)!= /V (О., , 2 (5jV2- 3) - 8/V У /V2 - 3 п ЛГ+3 N
yv =3,4,5, . . .
(/V2 + [)2
4 2(1 +0)!)= N(?>2 1 32iV2 (ДГ2 _L 4)2 rr ^ Л +4 N yv = 5, 6,
7
4 -N со2 l 32 /V2 H* n A +4 N Лт = 2k + 1 ft = 3, 4, 5, .
. .
Таблица 14
г х 2л, задача только пространственная
n Резонанс M Форма Я ^ m Порядок ? Примечание
1 co.2 = 0 1 H* Ц = 0
2 COt- (02 = 0 0 H* 0 (i = [l*
CO; - 2o),2 = 0 3/5 H* 0
3 to! -f- 2<0jj : - 2 7/25 H* 2
3co2 = 2 1/9 H* 2
0)! - 3o)2 9 4/5 H* 0
Зо)! - coa =2 (6 у 6"- 4)/25 ff* 2
4
0)! -J- 3tD2 2 (6У6+ 4)/25 tf* 2
4(o2 = 2 1/2 tf* 2
ЛИНЕЙНАЯ НОРМАЛИЗАЦИЯ
221
в § 10) достаточно учитывать в разложении функции Гамильтона
(4.2) члены до четвертого порядка включительно.
Из табл. 10, 11 и 14 видно, что для полного решения задачи (т. е. и при
резонансных значениях параметров) об устойчивости периодических движений
I и III типов достаточно учесть конечное число членов разложения
гамильтониана (члены Я* в задаче 1а), члены Я* в задаче 16) и члены/7* в
задаче 3)). Как видно из табл. 12, 13, в задачах 2а), 26) число
резонансов счетно (точкой накопления резонансов на оси Ор является точка
ц = 0). Это означает, что никакого конечного числа членов разложения
функции Гамильтона недостаточно для окончательного решения задачи об
устойчивости периодических движений II типа. Однако даже на основании
анализа конечного числа членов разложения гамильтониана можно сделать
достаточно полные выводы об устойчивости и неустойчивости в резонансных
случаях (см. § 11). Мы ограничимся рассмотрением в функции Гамильтона
(4.2) членов до Я* включительно.
§ 8. Линейная нормализация. Параметрический резонанс
В этом параграфе исследуется устойчивость линейной системы с функцией
Гамильтона (6.5).
Прежде всего заметим, что в линейной системе возможен параметрический
резонанс
n{ki + njKj = N%i (i, /, I = 1, 2, 3; i ф I, j ф I), (8.1)
где | щ | -T | fij | = 2, a Я - произвольное ненулевое целое число. Из
табл. 10-14 видно, что в нашей задаче параметрический резонанс
комбинационного типа (т. е. когда nt ¦ rij Ф 0) не встречается. Поэтому
соотношение (8.1) можно переписать так:
2= NXt (i, I = 1, 2, 3; I). (8.2)
Теперь опишем процедуру нормализации квадратичной части К2 функции
Гамильтона (6.4).
Функцию Гамильтона (6.5) линеаризованной системы представим в виде
оо
К2 = 2 Рт, Фт, (3-3)
т=о
а частоту периодического движения (6.3) для дальнейших вычислений удобнее
переписать следующим образом:
оо
Q; = 2 ?tfV, Qi0) = Xlt Q(i2TW) = 0, QГ = {п + 1) 2-%п+а,
п=о
(8.4)
222
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ ВБЛИЗИ L,
[ГЛ. 12
В (8.3) функция F0,2 не зависит от гг и имеет вид
Fo,2 = ~2~ "Ь Р*) -g- (9? + Pj) (i, / = 1, 2, 3; i
=^= Z, ]ф1),
а функции Fm>2 (m > 1) имеют нулевой порядок относительно е, являются 2я-
периодическими функциями w и записываются через конечные ряды синусов и
косинусов целых кратностей величины гг, причем максимальная кратность не
превышает т. Эти функции выражаются через функции НтЛ с помощью
соотношений
Для приведения функции (8.3) к нормальной форме необходимо сначала
провести ее нормализацию по переменным qt, Pit Pj. Для этого перейдем к
новой независимой переменной w. Эта операция сводится к делению функции
(8.3) на Q;. Функция Гамильтона, описывающая изменение переменных q(, pt,
qj, Pj, будет вычисляться по формуле
численными выше свойствами функций Fm,2 и вычисляются по ним при помощи
рекуррентных соотношений
Функция Гамильтона (8.6) соответствует неавтономной канонической системе
с двумя степенями свободы.
Нормализацию функции Гамильтона (8.6) можно провести обычным способом,
