Методика решения задач механики - Беляшкин А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
например, используя алгоритм, аналогичный алгоритму Биркгофа, или
используя алгоритм Депри - Хори. При этом на каждом шаге нормализации
формы Gm,2 приходится решать системы линейных дифференциальных уравнений
с периодическими коэффициентами. Однако в нашем случае функция Гамильтона
содержит "время" w только через комбинации е sin w и е cos w. Это
позволяет нормализацию неавтономной канонической системы с функцией
Гамильтона (8.6) свести к нормализации автономной системы (но уже с тремя
степенями свободы).
Для этого прежде всего заметим, что для нормализуемой неавтономной
функции Гамильтона (8.6) операторное уравнение
(5.4) в обозначениях этого параграфа принимает вид
(8.5)
оо
(8.6)
где G0,2 = ^ F0,2, а функции Gm,2 (т > 1) обладают всеми пере-
т
(8.7)
(8.8)
ЛИНЕЙНАЯ НОРМАЛИЗАЦИЯ
223
где
Л° = °о ~ JS ' D°Tm >2 = ~ 'Гт- 2>- (8'9)
В (8.8) Тт,2 и Gm# - члены степени т относительно е в разложениях
производящей функции Т2 искомого преобразования и новой функции
Гамильтона Gl в ряды по малому параметру ё. Функции СтЛ определяются по
формулам, аналогичным (5.7).
Однако процедуру решения уравнений (8.8) можно представить в несколько
ином виде. Введем фиктивные переменные qw, pw по формулам
qw = е sin w, pw = е cos w. (8.10)
После такой подстановки "время" w в функцию Гамильтона (8.6) явно входить
не будет. Это следует из того, что в функцию (6.5) величины е и w входят
только в виде комбинаций (8.10), а в частоте (8.4) параметр е2 можно
заменить на выражение q2w -f- р%. Получившаяся функция Гамильтона будет
иметь вид
L - Ь2 + • . • + Ьт + . . ., (8.11)
Lm = Gm-2,28m_2 S hVl...VL,q^qi'q},/w'^/j\ (8.12)
Vi+...+Bs=m
где значок "\Д означает, что в соответствующих функциях величины е, w
исключены при помощи подстановки (8.10). В (8.12) т > 3, а функция Ь2
определена ниже. Отметим, что действия оператора "Д" из § 6 и оператора
"V" взаимно противоположны и, таким образом, по функциям Нт>2 из (5.11)
можно сразу же получить функции F т> 2ет, по которым с помощью (8.7)
определяются функции Gm, 2. Для этого надо только в функциях Нт< 2
сделать формальную замену qt qw, рг -*¦ pw.
Производящую функцию искомого, линейного относительно qt, р^ qj, pj,
нормализующего преобразования S и новую функцию Гамильтона L* будем
искать в виде (8.11). Используя правило дифференцирования сложных
функций, оператор Д0 перепишем в виде
Э Э
До - D о
Pw и дРи
(8.13)
Из (8.13) видно, что действие оператора Д0 на произвольную функцию F
переменных qt, ри q}, р}, qw, pw можно представить при помощи скобки
Пуассона
ДоF = - (L2-F),
где
L2 - Go# -j- (qw -t~ Pw) - "2"(qw -t- Pw) -f-
224
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ ВБЛИЗИ L,
[ГЛ. 12
Нужные в дальнейшем формы Ьт из (8.11) имеют вид
U = ^1,21
I
где формы Нт< 2 определены в (5.11) (теперь первый индекс в Нт,ч означает
степень этих форм относительно qw, pw).
Операторное уравнение для определения форм Sm-z, 2 и Lm из разложений
производящей функции S и нормальной формы новой функции Гамильтона L*
будет иметь вид
с помощью формул, аналогичных формулам (5.7), в которых операторы Dm надо
заменить на операторы Dm-2, 21 действие которых на произвольную функцию F
переменных qt, pit q^, Pj, qw, pw описывается соотношениями
Таким образом, вместо неавтономной системы с функцией Гамильтона (8.6)
можно нормализовать автономную систему (но с числом степеней свободы, на
единицу большим) с функцией Гамильтона (8.11). При этом предлагаемая
здесь процедура нормализации будет отличаться от обычной нормализации
автономной системы с тремя степенями свободы в окрестности положения
равновесия только тем, что при вычислении скобок Пуассона в величинах
(5.7), а также при получении явного вида (5.9) рассматриваемого
преобразования надо проводить дифференцирование не по всем переменным qt,
pt, q}, pj, qw, pw, а только по переменным qt, q^ pi, pj.
В функцию Гамильтона (8.11) члены qu pt, q}, р} входят только
квадратичным образом (в (8.12) v2 -f- v3 + р2 + = 2).
Поэтому помешать нормализации могут только резонансы вида
где
(8.2).
g 8] ЛИНЕЙНАЯ НОРМАЛИЗАЦИЯ 225
Пусть выполнено резонансное соотношение (8.2). Тогда нормальная форма
функции Гамильтона (8.11) будет такой:
|iV|+l
+ а Vrjf1 • г* sin (2ф{ - 7Vcp") + О (rw 2 ), (8.14)
где ____ _____________________
qt = V%rk sin фЛ, pt = cos <рл (к = г, /, w). (8.15)
В (8.14) величины с2т, г, с2т, j и а являются инвариантами функции
Гамильтона относительно канонических преобразований, а N - [1/2 | iV |],
где квадратные скобки обозначают операцию вычисления целой части числа.
Замена qu pt, qj, Pj qt, pf, qf, pf осуществляется no формулам,
аналогичным формулам (5.9), в которых операторы Dn надо заменить на
операторы Dn-2, 2, получаемые по функциям Sn-г, г- Из вида этих
операторов также следует, что фиктивные переменные qw, pw после
проведенной нормализации не изменились.
Сделаем теперь преобразование, обратное к (8.10), возвратимся к старой
независимой переменной и зададим еще преобразование гг, w -> rf, w* по
