Методика решения задач механики - Беляшкин А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
знаки, то форма F будет знакоопределенной при гг >0, Г] > 0.
Для того чтобы в нерезонансном случае при достаточно малых значениях
параметра е сделать заключение об устойчивости в плоской задаче или
заключения об устойчивости для большинства начальных условий и о
формальной устойчивости в пространственной задаче, достаточно вычислить
коэффициенты форм (10.4) и
(10.5) при значении параметра е, равном нулю.
§ 11. Результаты расчетов
В этом параграфе изложены результаты, полученные при исследовании
устойчивости малых периодических движений, близких к треугольным точкам
либрации круговой ограниченной задачи трех тел. Исследование проводилось
методом, который был изложен в предыдущих параграфах. При этом
использовался комплекс программ нормализации гамильтоновых систем,
разработанный на языке ФОРТРАН в работе [70].
Сначала опишем результаты, которые можно получить при анализе членов до
Н& включительно в разложении функции Гамильтона (4.2).
Коэффициенты |д,<т> разложений границ областей параметрического резонанса
в ряды по е, подсчитанные по формулам (8.24) - (8.28), приведены в табл.
15.
Таблица 15
I Резонанс д(0) |г(1> М.С2) ц(3)
1 2А-2 = - 0,0242938... ±0,0640727... - -
2 2Х1 = - 3^2 0,0026368... 0 -0,0035782... ±2,873414...
2А-3 - - 3/.-2 0,0380258... 0 -0,8055612...
±0,067851...
232
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ ВБЛИЗИ L,
[ГЛ. 12
Таблица 16
1 Резонанс |i(0) ц(2) A
1 3Q2 - - Qi 3Q2 = - 2flt 0,01351602... 0,00263680... -
0,07244043... -0,00485767... e-3,168362... e2-1223,472...
2 - Qi 2Q3 = - 2Q2 0,03538546... -1,233667... форм. уст.
3 fij-2Q2 = 2Q3 Qi -f- 2Q2 = 0 ЗОг = - 2Qg 0,03538546...
0,0242939... 0,03802575... 0,02502685... 0,01813931... 0,02858462...
форм. уст. 1,35542... е2-6,059222...
Таблица 17
1 Резонанс H<o) ц<2> в •n-JV.rb, Пу)
1 4Q2= - 2 (Q2+ Q3) - Qi 0,00827037... 0,03538546... -0,0262244)...
1,313894... O(e) O(e) 237,9977... 72,31265...
3 + 3Q2 = 0 0,01351602... 0,00961191... 4,48074... 4,170536...
Используя формулы § 9, можно найти коэффициенты разложений резонансных
кривых третьего и четвертого порядков в ряды по малому параметру е.
Результаты представлены в табл. 16 (резонансы 3-го порядка) и 17
(резонансы 4-го порядка).
В пятом столбце табл. 16 даны значения главного члена резонансного
коэффициента А для рассматриваемых резонансов третьего порядка. Ни один
из них не равен нулю, и, следовательно, при достаточно малых значениях
параметра е соответствующие периодические движения будут неустойчивы.
В пятом и шестом столбцах табл. 17 даны значения главного члена
коэффициента В и значения величин Ж ( - N, щ, rij) для рассматриваемых
резонансов четвертого порядка. Видно, что неустойчивыми при резонансных
значениях параметров будут только периодические движения III типа
(резонанс + 3Q2 = = 0).
Несложные выкладки показывают, что коэффициенты сь сц, сц нормальной
формы (10.5) можно не находить в результате
§ 11J
РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ
233
описанного выше алгоритма нормализации, так как при е = О они совпадают с
соответствующими коэффициентами нормализованного около положения
равновесия гамильтониана (4.2). Нормализованная форма четвертого порядка
разложения гамильтониана в окрестности треугольной точки либрации при
нерезонансных значениях параметра р имеет вид
IIИ, = с2oof]2 + Сц0Г]/'2 + С1й1ГхГ3 + С020Г22 + С011Г2Г3 -j- С002гз2-
(11.1)
Явные [выражения коэффициентов нормальной формы (11.1)через частоты о)!,
со2 приведены в главах 7 и 8. При I = 1 сг = с2ою Сц Сцо? Сц C^oi? ^ При
Z 2 Сд С020, • Сцо? Сц ^Oll*
Кроме того, оказалось, что для периодических движений III типа (I = 3)
коэффициенты нормальной формы (10.5) в точности равны коэффициентам
нормальной формы (11.1), т. е. сг = с002> Сц - == С101? с I j =z Соц, Ci
=z c2ooi Cij с110, Cj с020. Таким образом, в нерезонансном случае надо
было вычислять только коэффициенты Ci, сц, cj (а для плоской задачи
только коэффициент сг) для 1 = 1 ч 1 = 2.
Результаты исследования нелинейной устойчивости периодических движений I,
II и III типов сведены в табл. 18.
Таблица 18
1 Значение р=Р/у, при котором - Qj, С) = 0 Значение р., при
котором D з = 0 Значение р, при котором П4 = 0 Интервалы формальной
устойчивости
1 0,02335... 0,03011... 0,02809... 0<р < 0,023354... 0,028108.. .< р
< 0,038521...
2 0,02374... 0,01548... 0,01894... 0<р< 0,018938... 0,023375.. .< р
< 0,038521...
3 - 0,02152... - 0,024294...< р < 0,038521...
Из табл. 18, в частности, видно, что ни для одного типа периодических
движений пространственной задачи определители D3 и Dx ни при каких
значениях р одновременно в нуль не обращаются и, следовательно, при всех
нерезонансных значениях параметров р, е из области устойчивости линейной
системы все периодические движения пространственной задачи будут
устойчивы для большинства начальных условий.
Результаты исследования устойчивости периодических движений I, II и III
типов показаны на рис. 24, 25 и 26 соответственно
234
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ ВБЛИЗИ L, [ГЛ. 12
