Методика решения задач механики - Беляшкин А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
и для Ьъ. Гамильтониан движения в окрестности треугольной точки либрации
L4 определяется формулой (3.1) главы 7, в которой надо положить е - 0. Мы
будем исследовать периодические движения для значений параметра р,
лежащих в области 0 < р < р* = 0,0385208 устойчивости точек либрации в
линейном приближении. Уравнения движения тела бесконечно малой массы
вблизи L4 при 0 < р < р* всегда можно записать в виде (2.1). Введем далее
обозначения
A-i = о)х, Я,2 = -(c)г, = 1) (2.5)
где со1 и (о2 - корни уравнения (4.3) из седьмой главы (0 < ю2 <
< V2/2 < (Di < 1).
208
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ ВБЛИЗИ L,
[ГЛ. 12
Для решения вопроса о существовании периодический движений, близких к Li,
применяем теорему Ляпунова о голоморфном интеграле, за который в
рассматриваемой задаче можно принять функцию Гамильтона Н.
Рассмотрим сначала плоскую задачу. В этом случае характеристическое
уравнение линеаризованной системы имеет две пары чисто мнимых корней ±
iсо1? ±ico2. Чтобы сделать заключения о существовании периодических
движений, надо проверить только выполнимость условия а) теоремы Ляпунова
о голоморфном интеграле, т. е. требования отсутствия резонансных
соотношений вида
h = Nkt, (2.6)
где N - произвольное целое число, a принимают значения
А.х или (? Ф I).
Будем называть периодические движения, соответствующие частоте соц
периодическими движениями I типа. Их период хх ж яг; 2л/сог. Обычно их
называют короткопериодическими движениями. Периодические движения,
соответствующие со2, будем называть периодическими движениями II типа. Их
период т2 ж 2л/о)2 (долгопериодические движения).
Для периодических движений I типа (Z = l, i = 2) соотношение (2.6)
принимает вид со2 = NiOj. Это равенство не выполнено ни при каких целых
N, так как 0 < со2 < ]/2/2 < о"! С 1. Таким образом, из теоремы Ляпунова
о голоморфном интеграле получаем, что периодические движения I типа
существуют при всех р из рассматриваемого интервала 0 < р < р*.
Для периодических движений II типа (I = 2, i = 1) соотношение (2.6) можно
переписать так: toj = Nсо2. С учетом уравнения
(4.6) главы 7 это соотношение принимает вид [22, 83]
27р(1-р) = ^1тТр W = 1,2,3,...). (2.7)
Тогда получаем, что периодические движения II типа существуют при всех р
из интервала 0 < р < р*, кроме, быть может, значений р, удовлетворяющих
равенству (2.7).
Теперь рассмотрим пространственную задачу. При всех р из интервала 0 < р
< р* по-прежнему будут существовать периодические движения I типа, а при
р, не удовлетворяющем равенству (2.7), и периодические движения II типа.
Из-за того, что пространственные переменные qs, р3 входят в гамильтониан
Н четным образом, периодические движения I и II типов и в
пространственной постановке задачи остаются в плоскости вращения основных
притягивающих масс. Но в пространственной задаче существуют еще
периодические движения III типа, период которых тэ ~ 2л/?.3 = = 2я.
СХЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ
209
При решении вопроса об устойчивости периодических движений I-III типов
следует рассматривать пять различных задач:
1а) задача об устойчивости периодических движений I типа в плоском
случае;
16) задача об устойчивости периодических движений I типа в
пространственном случае;
2а) задача об устойчивости периодических движений II типа в плоском
случае;
26) задача об устойчивости периодических движений II типа в
пространственном случае;
3) задача об устойчивости периодических движений III типа,
существующих только в пространственном случае.
Задачи 1а) и 16) существенно различны. В задаче 1а) изучаемая
механическая система имеет две, а в задаче 16) - три степени свободы.
Аналогичная ситуация и с задачами 2а) и 26).
Каждое из рассматриваемых периодических движений зависит от двух
параметров: отношения масс основных тел ц и "амплитуды" е (в задаче об
устойчивости зависимость периодического движения от начального момента
времени t0 несущественна).
§ 3. Схема исследования устойчивости
Ясно, что по отношению к возмущениям координат и импульсов,
соответствующих периодическим движениям, эти движения будут неустойчивы
по Ляпунову, так как их период зависит от начальных условий (величина е в
выражении для периода (2.4) зависит от начальных условий). Однако
представляет интерес задача об орбитальной устойчивости.
При решении задачи об устойчивости будем использовать подход, который
применен А. Д. Брюно, в работах [10, 14]. В этих работах, в отличие от
классической постановки задачи об устойчивости периодических движений
автономных гамильтоновых систем, значение постоянной энергии не
фиксируется, а она может изменяться в некотором интервале. Тем самым не
используется понижение числа степеней свободы гамильтоновой системы, как
это делается при изоэнергетической редукции. Такой подход позволяет
исследовать полную окрестность периодического движения, используя
канонические преобразования, а в окрестности периодического движения
можно ввести такие локальные координаты, что гамильтониан возмущенного
