Методика решения задач механики - Беляшкин А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
ограниченной задачи трех тел. Затем последовало большое число работ в
основном зарубежных авторов, в которых результаты Шарлье и Пламмера
развивались и уточнялись. По-видимому, завершающей работой "немашинного"
этапа исследования периодических движений вблизи треугольных точек
либрации можно считать работу Ю. А. Рябова 1952 года [83]. Методы,
основанные на использовании ЭВМ, были созданы в работах Депри, Рэйба,
Хенрарда, Шмидта и др. [114-123, 140, 165-167, 172], и к настоящему
времени задача построения периодических движений, близких к треугольным
точкам либрации круговой ограниченной задачи трех тел, получила большое
развитие.
В работах Депри [114, 115] предложен метод аналитического продолжения,
который тесно связан с классическими процедура ми Ляпунова и Пуанкаре и
по сути дела сводится к рекуррентному вычислению коэффициентов разложения
периодического движения в ряд по орбитальному параметру. В [114, 115]
описан приспособленный для ЭВМ алгоритм нахождения этих коэффициентов,
который позволяет учитывать в разложении периодического движения большие
степени орбитального параметра.
Наверное, более интересна и эффективна другая модификация метода
аналитического продолжения, основанная на использовании теории возмущений
Депри - Хори и описанная в работах Депри и Хенрарда [116, 117].
Применение метода аналитического продолжения позволило сделать вывод о
том, что из-за медленной сходимости рядов,
206
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ ВБЛИЗИ L,
[ГЛ. 12
описывающих периодическое движение, для построения периодических орбит с
большими амплитудами этот метод мало пригоден, даже если учитывать очень
большие степени малого орбитального параметра. В этом случае на помощь
приходит метод численного продолжения, впервые примененный в работах
Рэйба [165-167] и наиболее полно описанный в работе Депри и Хенрарда
[119].
В работах [114 -121, 165 - 167] методы аналитического и численного
продолжения использованы для построения периодических орбит, рождающихся
из треугольных точек либрации систем Солнце - Юпитер и Земля - Луна.
Кроме того, в этих работах найдены характеристические показатели,
соответствующие построенным орбитам.
В статье Депри [122] исследованы периодические движения при значениях
отношения масс основных тел, больших критического значения р*, а в
работах [140, 172] рассмотрен вопрос о существовании периодических
движений при таких значениях отношения масс р, для которых их
существование не следует из теоремы Ляпунова о голоморфном интеграле.
В обзорной статье Депри и Хенрарда [123] обсуждаются результаты
исследований периодических орбит плоской круговой ограниченной задачи
трех тел, которые были получены после 1966 года. Результаты более раннего
периода описаны в монографии Себехея [175].
Все вышеупомянутые работы посвящены исследованию периодических движений в
рамках плоской круговой ограниченной задачи и не был рассмотрен вопрос об
устойчивости периодических движений в строгой нелинейной постановке.
В настоящей главе рассматривается задача о построении и устойчивости
малых периодических движений, близких к треугольным точкам либрации
круговой ограниченной задачи трех тел в плоском и пространственном
случаях. Задача об устойчивости решается в строгой нелинейной постановке.
При изложении результатов мы следуем работам [68, 69].
§ 2. Три типа периодических движений
Существование периодических движений, близких треугольным точкам либрации
ограниченной круговой задачи трех тел доказывается при помощи теоремы А.
М. Ляпунова о голоморфном интеграле [22, 49].
Теорема (А. М. Ляпунов). Пусть дана система обыкновенных дифференциальных
уравнений вида
(2.1)
П
ТРИ ТИПА ПЕРИОДИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЙ
207
где % - положительная постоянная, ajk - постоянные вещественные
коэффициенты, а X, Y и X] - голоморфные функции величин х, у, Xj,
разложения которых не содержат членов ниже второго порядка малости и
обладают постоянными вещественными коэффициентами. Пусть выполнены
следующие два условия:
а) Уравнение
D (а) = | ал - обjk | = 0, (2.2)
где бJk - символ Кронекера, не имеет корней вида ikN, где i - мнимая
единица, а N - целое число.
б) Система (2.1) имеет не зависящий от времени голоморфный интеграл, в
котором совокупность членов второго порядка содержит переменные х и у.
Тогда уравнения (2.1) имеют периодическое решение, представимое рядами
вида
ОО ОО ОС
х = 2 А(r), у = 21 est/W, Xj = 2 (2.3)
k=l Jc=l k=2
где s - достаточно малая произвольная постоянная, а все аДО ут, -
периодические функции времени с общим периодом т, являющимся голоморфной
функцией е. Функции х^, yW, x\k^ представляются конечными рядами
косинусов и синусов целых кратностей величины 0, определяемой формулами
0 = 2я (i-10) ^ т = 2л ^ ^ ^
ь+Ъеъ**
к=г
причем все gk - вполне определенные постоянные, a t0 - вторая
произвольная постоянная.
Величина е называются орбитальным параметром или "амплитудой"
периодического движения (2.3).
В дальнейшем рассматривается движение вблизи L4, однако все выводы верны
