Методика решения задач механики - Беляшкин А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
е.
Будем предполагать, что выполняется только одно из резонансных
соотношений (7.1). И так как в этом соотношении участвуют не более двух
частот, то, без ограничения общности, задачу о параметрическом резонансе
будем рассматривать для механических систем с двумя степенями свободы.
Если бы число степеней свободы было больше двух, то переменные yj (j Ф k,
I, п 4- к, п + I) могли быть исключены из Нх при помощи канонической
замены переменных. Это будет видно из проводимого ниже анализа (число
(7.13) для одночленов, содержащих у} (/ Ф к, I, п -4- к, п I), не будет
НАХОЖДЕНИЕ ОБЛАСТЕЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ
47
целым, так как существует только одно резонансное соотношение
(7.1) и оно связывает только частоты и сгг).
Пусть в (6.5) квадратичная форма Нг записана в виде
= 2 Avaw. (О yl'yl'Vs'lti* (v = Vi + v2 + Hi + +0- (7-3)
V-2
В (7.3) у*, - целые неотрицательные числа. Будем считать, что
функции (t) в их представлении в виде рядов Фурье не
содержат нулевых гармоник. В противном случае часть Hi, не зависящую от
t, мы включили бы в Н0. Найдем область изменения параметра а вблизи его
резонансного значения а0, для которой линейная система
dyk дН dyi+К дН
(*=1,2),
dt ^2+t ' dt дУ*
соответствующая функции Гамильтона (6.5), неустойчива. Будем считать, что
при а = а0 выполнены неравенства
rf(aft + ai)
da
=5^= 0 (*, I = 1, 2).
Введем комплексно сопряженные канонические переменные qh, рк
соотношениями
\9i = Уз + 'Ун 92 = У4 + гУг- (7-4)
Pi = Уз - tyi. Р2 = г/4 - iyz-
Валентность канонического преобразования (7.4) равна 2i. Новый
гамильтониан равен 2Ш, где Н есть функция Гамильтона (6.5),
выраженная через qk, pk по формулам (7.4). Разлагая еще ак (а) в ряд в
окрестности а0, получим
2iH = iOi (а0) q-iPi + i(T2 (а0) + 1 (а - а0) ( - 9iPi +
№) +
+ е ^ a^^^ql'ql'Pi'Pv1 + • • • (7.5)
v=2
Точками в (7.5) обозначены члены не ниже второго порядка относительно
величин е и а - а0. Коэффициенты aVlV,n,ns связаны соотношениями
(r)ViVjHiM.a = - <WaV.Vs.
Явные выражения1 коэффициентов aVlVjlx4l, через коэффициенты
гамильтониана (6.4) таковы:
| ^ j
(r)2000 = ~2~ [*1010+ i (*0020 *200о)]" а0200== ~2~ [*0101 +i(*0002
*020o)J>
anoo - ~2~ f(*iooi + *oiio) + i (*ooii1- *iioo)]>
48 ЛИНЕЙНЫЕ ГАМИЛЬТОНОВЫ СИСТЕМЫ [ГЛ. 2
I
aiooi = ~2 K^iooi - Лоно) + * (Лцоо + Л00ц)], (7.6)
ягою - i (Л2000 + Л0020), Я0Ю1 == * (Л0200 + Лоооа)-
Сделаем каноническую замену переменных qk, рк -" qk, рк по формулам
' 35
= Р> = ^Г' (77)
где производящая функция S имеет вид S - Ч1Р1 + Ч2Р2 + sW = Я\Р\ + ЧчРг +
8 S ^vjvsjx.m* (0 ЧгЧгР^Р^'-
V=2
Функции wVlVililt подберем 2я-периодическими и такими, чтобы в новом
гамильтониане члены порядка е приняли по возможности наиболее простой
вид. Из (7.7) получаем явный вид преобразования Чи, Рк -> Чк, pit с
точностью до членов порядка е:
dW dW
Ч* = Чк - ъ~г^, Рк = Рн + ъ^т-, (7-8)
дрк ддк
где в функции W переменные qv q2 заменены на qx, q2. В переменных qk, рк
новая функция Гамильтона Н' вычисляется по формуле [161
Н' = Н 4^-, (7.9)
где Н есть функция (7.5), выраженная через qk, pic по формулам
(7.8). Из (7.5) и (7.8) - (7.9) получаем такое выражение для
совокупности членов Н', пропорциональных первой степени е:
2 (r)viVBi,a, (О Ч\ *Чъ - DW -f- 2j (r)vivrfiia" (0 4i *Чг 'Pi* Pt*i
V=2 V=2
(7.10)
где через D обозначен оператор
d - (,; ? - ,;?) + to, [q-± - +? • ("о
Приравняв в тождестве (7.10) коэффициенты при Чх'д^'рх'р^, получим
дифференциальное уравнение для dw. . ,
1 4" i [^1 (Vi - ^1) + <*2 (V2 - ^2)] иЯуодщь =
(7.12)
Рассмотрим это уравнение подробно. Для простоты записи у функций
u\.lV!n*i" 141. и Ovtv^ii, не будем писать индексы и введем
S 71
НАХОЖДЕНИЕ ОБЛАСТЕЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ
49
обозначение
Ь = (vi - р.х) + а2 (v2 - ц2)-Из общего решения уравнений (7.12):
(7.13)
1
w{t) = w(0)e~ibt -f- е~ш J eibx(а' - a) da
о
следует, что если число Ъ не будет целым, то при любой функции а' решение
w (t) будет 2я-периодическим, если
В этом случае, следовательно, можно положить а' = 0. Если же число Ъ -
целое, то при а' == 0 периодическое решение уравнения (7.12), вообще
говоря, не существует. Чтобы оно существовало, следует положить
и периодическое решение уравнения (7.13) будет иметь вид
при произвольном значении w (0). В любом олучае коэффициенты производящей
функции S связаны соотношением
помощи (7.8), будут комплексно сопряженными.
Проведя такое исследование уравнения (7.12), рассмотрим случай
комбинационного резонанса а1 (а0) + ог2 (а0) = N. Функция Гамильтона
(7.9) в этом случае может быть приведена описанным выше способом к виду
J eibx (а - a') dx
w{ 0)=
l-ei23№
a' - ce~m,
где
(7.14)
о
w{t) = w (0) e~m -f- e~m J (c - aeibx) dx
о
- ------ WH4"lVlYtt
а потому новые переменные дк, рк, как это легко проверить при
50
ЛИНЕЙНЫЕ ГАМИЛЬТОНОВЫ СИСТЕМЫ
[ГЛ. 2
где
ал 2 л
Сцоо = 2^- ^ eWfauoo (t)dt, с0ои = ^ e~iNla0ou (t) dt (7.16)
О о
(сиоо = - с0ои).
Теперь введем вещественные переменные гк, ф^ соотношениями
