Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Беляшкин А.Г. -> "Методика решения задач механики" -> 16

Методика решения задач механики - Беляшкин А.Г.

Беляшкин А.Г., Матвеев А.Н., Сараева И.М. Методика решения задач механики — МГУ, 1980. — 160 c.
Скачать (прямая ссылка): metodikaresheniyazadachmehaniki1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 10 11 12 13 14 15 < 16 > 17 18 19 20 21 22 .. 203 >> Следующая

что характеристические показатели системы (1.1) - чисто мнимые, Хк = iak,
а все мультипликаторы рк = exp (i2nak), рп+к - рк (к = 1, 2, . . ., п)
различны. Черта обозначает комплексно сопряженную величину.
Как и в случае, когда в системе (1.1) матрица Н (t) постоянна, мы
называем нормальной формой системы (1.1) такую систему уравнений с
постоянными коэффициентами, которой соответствует
40
ЛИНЕЙНЫЕ ГАМИЛЬТОНОВЫ СИСТЕМЫ
[ГЛ. 2
функция Гамильтона вида (2.1). Задача нормализации линейных канонических
систем с периодическими коэффициентами исчерпывающе изучена в работах
[109, 157, 179-182]. Показано, что нормализующее преобразование можно
выбрать вещественным и 2я-периодическим по t. Для п = 1 в [53] показано,
как практически получить такое преобразование. Теперь рассмотрим, следуя
[54], задачу нормализации для произвольного п. Результаты представим так,
чтобы их было удобно применять при решении конкретных механических задач.
Пусть X (t) - фундаментальная матрица - решение системы (1.1).
Нормализующее преобразование
х = Ny (5.1)
представим как последовательность двух замен переменных
х = X (t) Ae~mz, (5.2)
z = Су; (5.3)
здесь В - диагональная матрица, у которой элементы определены равенствами
bklt = - 6n+fci n+it - (к = 1, 2,..., п). Матрица С имеет вид (2.6).
Преобразование (5.2) приводит систему (1.1) к диагональной форме
? = Bz. (5.4)
После применения преобразования (5.3) система уравнений (5.4) приобретает
нормальную форму с функцией Гамильтона (2.1). Постоянную матрицу А в
формуле (5.2) подберем так, чтобы преобразование (5.1) было вещественным,
унивалентным, каноническим 2я-периодическим по t.
Преобразование (5.3), как нетрудно проверить, является каноническим с
валентностью 2i. Кроме того, матрицы X (t) и. e~Bt - симплектические. Для
X (?) это показано в § 4, а симплек-тичность e~Bt очевидна. Таким
образом, чтобы преобразование (5.1) было кононическим и унивалентным,
необходимо и достаточно [16], чтобы матрица А была обобщенно-
симплектической с валентностью 1/2г, т. е. должно выполняться равенство
АТ1А = -|т-1. (5.5)
Далее, из условия 2я-периодичности нормализующего преобразования (5.1):
X (2я) Ае~гяВС = X (0) АЕ2пС
НОРМАЛИЗАЦИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИСТЕМ
41
получаем матричное уравнение для определения А
Pi .
А-1Х (2л) А = е2ЯВ, е2лВ =
(5.6)
Рп
Матрица еаяВ является диагональной формой матрицы X (2л). У матрицы А,
приводящей Х(2я) к диагональной форме, /-й столбец есть собственный
вектор е}-, соответствующий мультипликатору р;- (/ = 1, 2, . . ., 2га).
Ее можно представить в виде А = LD, где L - какое-либо решение уравнения
(5.6), a D - диагональная матрица порядка 2га, элементы которой подберем
так, чтобы удовлетворить условию (5.5).
Кроме того, будем считать, что элементы матрицы D - вещественные числа и
dn+К'П+ц = dkk, а собственные векторы еп+1с и ек - комплексно сопряженные
(к = 1, 2, . . ., га). Это обеспечивает вещественность нормализующего
преобразования.
Покажем, как найти матрицу D. Подставляя А = LD в равенство (5.5) и
учитывая, что DT = D, лолучаем
Теперь обозначим матрицу LT1L через F. Ее элементы вычисляются по формуле
(2.9). Аналогично § 2 получаем, что матрица F - кососимметрическая.
Для дальнейшего анализа ее структуры докажем следующее утверждение: если
произведение собственных чисел рк и рг сим-плектичеекой матрицы X не
равно единице, то соответствующие собственные векторы е* и ej
удовлетворяют равенству (eft, 1ег) = 0.
Для доказательства сначала заметим, что по определению симметрической
матрицы для любых векторов а и b имеет место равенство
Далее, используя симплектичность матрицы X, получаем (1Ха, ХЬ) = (1а, Ь).
Подставив в последнее равенство а = е* и b = ег, получим
Но Хе; = р7-е; (/ = 1, 2, . . ., 2га), поэтому равенство (5.8) можно
переписать так:)
DL'ILD = -i-II.
(5.7)
(IXa, Xb) = (XTIXa, b).
(IXe*, Xe,) = (Iek, ег).
(5.8)
(pfcPi - 1) (e*, le,) = 0,
и если ркрг Ф 1, то необходимо, чтобы скалярное произведение (еь 1ег)
равнялось нулю.!
42
ЛИНЕЙНЫЕ ГАМИЛЬТОНОВЫ. СИСТЕМЫ
[ГЛ. 2
Таким образом, матрица LrIL записывается в виде (2.13), и элементы gkk
матрицы G, входящей в (2.13), вычисляются по формулам (2.14). Из
равенства (5.7) получаем теперь уравнение для нахождения элементов
матрицы D
(г*, Isk) = 1. J (5.9)
Последнее уравнение имеет действительное решение, если величина (rk, Is,)
положительна, чего всегда можно добиться соответствующим выбором знака ак
в функции Гамильтона (2.1). В самом деле, из уравнения Хе* = pftek имеем
систему уравнений относительно действительной т, и мнимой s, частей
вектора е*:
(X - cos 2жткЕ2п) rk + sin 2naksk = 0,
- sin 2пактк -f (X - cos 2яакЕ2п) sk = 0. '
Система уравнений (5.10) не изменяется при одновременном изменении знака
ак и знака компонент вектора тк. Знак же скалярного произведения (тк,
Isk) изменяется на противоположный.
Таким образом, мы нашли матрицу D. Матрица нормализующего преобразования
(5.1) имеет вид
Предыдущая << 1 .. 10 11 12 13 14 15 < 16 > 17 18 19 20 21 22 .. 203 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed