Методика решения задач механики - Беляшкин А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
обязательно есть хотя бы один корень с положительной вещественной частью.
А значит, при малых значениях 8, отличных от нуля, характеристическое
уравнение (4.3) имеет корни с модулями, большими единицы. В этом случае
задача о параметрическом резонансе, как видим, проста и неинтересна.
Пусть теперь при 8 = 0 характеристическое уравнение системы
(1.1) имеет только чисто мнимые корни + i<rfc (А = 1, 2,. . . , га).
Тогда уравнение (4.3) при е = 0 имеет только такие корни, модули которых
равны единице. Изучим поведение мультипликаторов при малых е, отличных от
нуля.
Сначала рассмотрим простейший случай, когда при 8 = 0 нет кратных
мультипликаторов, т. е. когда, согласно (6.3), выполняются неравенства
Oic±al^N (*, 2 = 1, 2, . . . , га; N =0, ±1,±2,...). (6.4)
Ясно, что в этом случае, в силу непрерывности мультипликаторов, они
останутся некратными и при достаточно малых е.
ЗАДАЧА О ПАРАМЕТРИЧЕСКОМ РЕЗОНАНСЕ
45
Кроме того, при достаточно малых е мультипликаторы не могут иметь модули,
большие единицы. Этот вывод является простым следствием из теоремы
Ляпунова - Пуанкаре о характеристическом уравнении (4.3). Согласно этой
теореме, мультипликаторы расположены симметрично относительно единичной
окружности. При малых значениях е они не могут сойти с окружности, не
нарушив указанной симметрии.
Действительно, рассмотрим для наглядности случай п = 2.
Характеристическое уравнение (4.3) будет уравнением четвертого порядка.
Пусть р} (/ = 1,
2, 3, 4) - его корни при е = 0. Будем изображать их на комплексной
плоскости р (рис. 4). Пусть при Рис. 4. Простые и кратные мультипликато-
малых 8 один из корней, Ры на единичной окружности,
например рх, сошел с окружности и стал по модулю больше единицы. Из-за
вещественности матрицы X (2я; е) комплексно сопряженный корень рГ1
необходимо сместился бы в точку, симметричную относительно вещественной
оси. А так как число всех корней равно четырем, то у корня рх не
оказалось бы обратного по величине, что противоречит теореме Ляпунова -
Пуанкаре.
Таким образом, если при е = 0 отсутствуют кратные мультипликаторы или,
что то же, выполняются условия (6.4), то гамильтонова система (1.1) при е
Ф 0 устойчива, если величина | е | достаточно мала.
Если же при 8=0 существуют кратные мультипликаторы, расположенные в
некоторой точке А единичной окружности (рис. 4), то при г Ф 0 они могут,
вообще говоря, сойти с окружности. При этом они могут расположиться, как
изображено на рис. 4, и симметрия мультипликаторов относительно единичной
окружности не будет нарушена. Но смещение мультипликаторов с единичной
окружности происходит не всегда [33], и, следовательно, в случае кратных
мультипликаторов система (1.1) не обязательно неустойчива при е 0.
Рассмотрим этот вопрос подробнее.
Предположим, что характеристические показатели iak при 8 = 0 таковы, что
среди величин ак нет кратных. Тогда функцию Н0 в (6.1) при помощи
линейной канонической замены переменных можно привести (см. § 2) к сумме
гамильтонианов не связанных друг с другом осцилляторов, и функция
Гамильтона (6.1) запишется в виде , "
Н - ~2~ / I*7* (У* ~Ъ 2/fc+n) + + б2-Нг + • • • 1
(6-5)
fe-1
46
ЛИНЕЙНЫЕ ГАМИЛЬТОНОВЫ. СИСТЕМЫ
[ГЛ. 2
где Нх, Н2, ... - квадратичные формы новых переменных ух, у2,. ¦ ¦ , У2п
с непрерывными, 2я-периодическими по t коэффициентами. Очевидно, что
задачи о параметрическом резонансе в старых и новых переменных
эквивалентны. Но теперь для нас существенно, что величины ак в (6.4)
имеют вполне определенный знак, полученный в процессе нормализации II0.
Имеет место теорема Крейна - Гельфанда - Лидского 197], которая в наших
обозначениях формулируется так.
Теорема. Для достаточно малых г линейная система с гамильтонианом (6.5)
устойчива тогда и только тогда, когда величины а* не связаны
соотношениями
cffc 4" оi = N (k, I = 1, 2,. . . , n\ N = -f-1, 4-2, . . .). (6.6)
Иными словами, знак минус в соотношении (6.4) можно опустить, а при
выполнении хотя бы одного из равенств (6.6) всегда можно так подобрать Ни
Н2,. ¦ ¦ в (6.5), что соответствующая линейная система будет неустойчива.
Число N в (6.6) отлично от нуля, так как среди величин <rft нет кратных.
§ 7. Нахождение областей параметрического резонанса
в первом приближении по малому параметру
Пусть величины <тл в гамильтониане (6.5) зависят он некоторого параметра
а. И пусть при значении а, равном а0, в изучаемой механической системе
возникает параметрический резонанс, т. е. выполняется хотя бы одно из
соотношений
Offt ("о) + <4 (ао) = N {k,l = 1,2,. . . , п; N == + 1 ± 2,. . .). (7.1)
Когда соотношение (7.1) выполняется для k ~ I, т. е. когда
2<т* = N, (7.2)
говорят о простом резонансе; параметрический резонанс, для которого в
(7.1) к Ф I, называют комбинационным. В этом параграфе мы покажем, что,
как при простом, так и при комбинационном резонансах, при любом сколь
угодно малом значении е может существовать область неустойчивости, и в
плоскости а, е найдем ее границы с точностью до первой степени параметра
