Методика решения задач механики - Беляшкин А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
N = X(0LDe-B(C.
После некоторых преобразований ее можно представить в виде произведения
твех вещественных матриц
N = X (?) PQ (г). (5.11)
В последней формуле через Р обозначена постоянная матрица, у которой к-й
столбец есть вектор -2dkkskl а (га к)-й столбец - вектор 2dkktk (к = 1,
2, . . ., га). Матрица Q (г) имеет вид
Icos Кг - sin Кг II sin Кг cos Кг '
sin ахг cos сцг
sin Кг = sin ant , cos Кг = cos опг
§ 6. Задача о параметрическом резонансе. Линейные гамильтоновы системы,
содержащие малый параметр
В конкретных механических задачах матрица II (t) системы
(1.1) обычно зависит от одного или нескольких параметров. Задача о
параметрическом резонансе для системы (1.1) состоит в определении тех
значений параметров, при которых характеристическое уравнение системы
(1.1) имеет корни с модулями, большими единицы.
ЗАДАЧА О ПАРАМЕТРИЧЕСКОМ РЕЗОНАНСЕ
43
Эта задача подробно изучена в работах А. М. Ляпунова, М. Г. Крейна, В. А.
Якубовича, В. М. Старжинского, И. М. Гель-фанда и В. Б. Лидского, Ю.
Мозера и др. Полученные результаты изложены в монографии [97], где
приведена и обширная библиография по устойчивости линейных систем с
периодическими коэффициентами. Здесь мы ограничимся рассмотрением задачи
о параметрическом резонансе для тех частных случаев, которые типичны для
рассматриваемых далее конкретных задач небесной механики. Будем
предполагать, что функция Гамильтона Н, соответствующая системе (1.1),
имеет вид
Н = Н0 гНх + е2#2 + • • • " (6.1)
где Н0, Н1 . . . - квадратичные формы переменных хх, х2, . . . ..., х2п,
причем коэффициенты формы Н0 постоянны, а коэффициенты форм Нх, Н2, ... -
непрерывные, вещественные функции t с общим периодом 2я.
Прежде чем переходить к задаче о параметрическом резонансе, рассмотрим
зависимость мультипликаторов (и характеристических показателей) от
параметра е. Так как функция Гамильтона (6.1) предполагается
аналитической относительно е, то правые части системы (1.1) также
аналитичны. Тогда, как известно, любое решение х (t; е) системы (1.1),
для которого начальное значение не зависит от е, будет аналитическим
относительно е. В частности, аналитическими будут элементы xtj (t; е)
фундаментальной матрицы решений X (t; е). Отсюда получаем следующую
теорему А. М. Ляпунова: если правые части системы (1.1) аналитичны
относительно е, то коэффициенты характеристического уравнения (4.3) будут
аналитическими функциями е, причем область их аналитичности совпадает с
областью аналитичности правых частей системы (1.1).
Но при этом мультипликаторы (и характеристические показатели) не
обязательно аналитичны. В самом деле, рассмотрим характе ристическое
уравнение (4.3):
fliP) = Р2П + "ip271'1 + • • • + "хР + 1 = 0, (6.2)
где коэффициенты ah - аналитические функции е. И пусть р* - какой-либо
корень уравнения (6.2) при 8=0. Если он не является кратным и,
следовательно, df (p*)/dp* Ф 0, то на основании теоремы о неявной функции
при достаточно малом е, отличном от нуля, существует единственный корень
р (е), для которого р (0) = р*. При этом р (е) - аналитическая функция е
и аналити-чен соответствующий характеристический показатель, В том же
случае,] когда р*- кратный корень и, следовательно, df (р*)/ф* = = 0,
задача о зависимости корней уравнения от е при 8=^=0 становится более
сложной. Если корень р* имеет кратность, равную т, то уравнение (6.2) при
е Ф 0 имеет [20] т корней, обращающихся при е = 0 в р*. П эти корни
аналитичны относительно
44
ЛИНЕЙНЫЕ ГАМИЛЬТОНОВЫ. СИСТЕМЫ
1ГЛ. 2
е1^', где 1 <; к ^ /га. Аналогичная зависимость от е будет иметь место и
для характеристических показателей. Отметим, что независимо от кратности
корня р* при е = 0 корни уравнения (6.2) при е Ф 0, во всяком случае,
непрерывны по е.
Теперь рассмотрим систему (1.1) при 8=0. Это будет система с постоянными
коэффициентами. Пусть к - корень ее характеристического уравнения.
Получим условия аналитичности мультипликаторов системы (1.1) при е ф 0.
Мультипликатор р характеристического уравнения (4.3) системы (1.1) с 2я-
периодическими коэффициентами при 8 = 0 имеет вид р = ехр (2яА,).
Согласно теореме Ляпунова - Пуанкаре (см. § 4), вместе с мультипликатором
р=ехр (2яХ) существует мультицликатор р = ехр (-2яА,). Отсюда получаем,
что харак теристическое уравнение (4.3) при 8=0 имеет кратные корни в том
и только в том случае когда выполняется соотношение
+ = iN (к, I - 1, 2, . . . , га; N - 0, ^ 1, + 2, . . . ).
(6.3)
Таким образом, если корни к} (j = 1,2,. . . , 2га) характеристического
уравнения системы (1.1) при е = 0 не связаны соотношениями (6.3), то ее
мультипликаторы при е 0 аналитичны относительно е.
Отметим, что при некоторых дополнительных условиях С. Н. Шимановым
показана [52] аналитичность мультипликаторов и при выполнении равенств
(6.3).
Допустим, что характеристическое уравнение системы (1.1) при е = 0 имеет
корень kj с отличной от нуля вещественной частью. Тогда, согласно § 1,
оно имеет корень - kj и, следовательно, у характеристического уравнения
