Методика решения задач механики - Беляшкин А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
дифференцируемая, ограниченная при всех t, и такими же свойствами
обладает обратная матрица L-1 (t). Имеет место следующая теорема Ляпунова
[49]: линейная система (3.1) с непрерывной периодической матрицей A (t)
приводима.
Для доказательства теоремы Ляпунова примем за матрицу L (t)
преобразования (3.10) матрицу Y (t), определенную равенством (3.5). Она
непрерывно дифференцируема и ограничена при всех t вместе со своей
обратной. Остается только показать, что преобразованная система будет
системой с постоянными коэффициентами. В этом легко убедиться, подставив
'x = X(*)e-Bfy (3.11)
в (3.1). Произведя выкладки, получим
4г - ву- <3-12>
Таким образом, характеристические показатели %} суть корни
характеристического уравнения преобразованной системы (3.12).
Ясно, что задачи об устойчивости систем (3.1) и (3.12) эквивалентны.
Поэтому из проведенных рассмотрений следует, что система (3.1) устойчива
тогда и только тогда, когда все ее мультипликаторы принадлежат замкнутому
единичному кругу | р | 1,
причем в случае существования кратных мультипликаторов, лежащих н^
окружности | р | = 1, матрица X (2я) приводится к диагональной форме.
§ 4. Устойчивость линейных гамильтоновых систем
с периодическими коэффициентами
Рассмотрим задачу об устойчивости гамильтоновой системы (1.1). Считаем,
что Н - непрерывная, 2я-периодическая по f, вещественная симметрическая
матрица. Задача об устойчивости линейных гамильтоновых систем обладает
рядом специфи-
38
ЛИНЕЙНЫЕ ГАМИЛЬТОНОВЫ, СИСТЕМЫ
[ГЛ. 2
ческих особенностей по сравнению с задачей об устойчивости общих линейных
систем, которые были рассмотрены в предыдущем параграфе. Эти особенности
вытекают из теоремы Ляпунова - Пуанкаре о характеристическом уравнении
гамильтоновых систем с периодическими коэффициентами. Несколько ниже мы
сформулируем и докажем эту теорему, а предварительно рассмотрим так
называемые возвратные уравнения.
Уравнение
/ (z) == a0z" + a1z"~1 + . . . + ап = 0 (a0 ф 0, z = х
+ iy)
(4.1)
называется возвратным, если его коэффициенты, равноотстоящие от крайних
членов, равны между собой, т. е. в записи (4.1)
Для возвратного уравнения справедливо тождество
0). (4-2)
и, наоборот, если выполнено (4.2), то уравнение (4.1) возвратное. Из
(4.2) следует, что возвратное уравнение нечетной степени обязательно
имеет своим корнем число z = -1. Если п - четное число, то при помощи
подстановки
. 1
w = z А-----
' Z
п
возвратное уравнение сводится к уравнению степени относительно w.
Имеют место следующие легко проверяемые [21] свойства корней возвратного
уравнения: если у уравнения есть корень z - 1, то кратность его четная;
если есть корень z = -1, то его кратность четная при четном п и нечетная
при нечетном п\ если уравнение имеет корень zk Ф ±1, то оно имеет также и
взаимно обратный корень гг = l/zs той же кратности.
Теорема Ляпунова-Пуанкаре. Если матрица Н (t) линейной гамильтоновой
системы (1.1) - 2п-периодическйя по t, то характеристическое уравнение
/ (р) = det (X (2я) - рЕ2п) = 0 (4.3)
- возвратное.
Доказательство. Во-первых, докажем, что матрица фундаментальных решений X
(t) - симплектическая, т. е. справедливо тождество
X*IX = I. (4.4)
В самом деле, при t - 0 равенство (4.4), очевидно, справедливо,
НОРМАЛИЗАЦИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИСТЕМ
39
а вычислив производную правой его части, получим d (XJ*-X) = IX + Х'1 ^ =
ХтНТ1Х + ХТРНХ =
= ХТН (- I2) X + ХТ12НХ = ХТНХ - ХТНХ = 0.
Поэтому равенство (4.4) справедливо при всех t.
Во-вторых, отметим, что из теоремы Лиувилля о сохранении фазового объема
[16] следует, что det X (2л) = 1.
Теперь можно проверить, что уравнение (4.3) - возвратное. Имеем
/ (р) = det (X - рЕ) = det X (Е - pX"l) = det (Е - р^ХТ) =
= det Г1 det"(E - рХ') det I = det (Е - рХ)т =
= det (Е - РХ) = рз" det (Х - -L е) = р*"/ (-L).
Значит, характеристическое уравнение (4.3) - возвратное, и теорема
Ляпунова - Пуанкаре доказана.
Укажем важнейшие следствия этой теоремы:
1) линейная гамильтонова система (1.1) устойчива тогда и только тогда,
когда все ее мультипликаторы р}- расположены на единичной окружности | р
[ == 1 и матрица ' X (2л) приводится к диагональной форме;
2) мультипликаторы р) и 1/р;- имеют одинаковую кратность;
3) если характеристическое уравнение (4.3) имеет корень р = 1 или р = -1,
то эти корни имеют четную кратность.
§ 5. Нормализация гамильтоновой системы линейных
уравнений с периодическими коэффициентами
Рассмотрим снова систему (1.1) с непрерывной периодической матрицей Н
(?). Согласно теореме Ляпунова система (1.1) приводима. Соответствующая
замена переменных может быть записана в виде (3.11). Но замена
переменных, приводящая систему (1.1) к системе линейных уравнений с
постоянными коэффициентами, определяется матрицей Н (t) неоднозначно. В
этом параграфе построен алгоритм отыскания линейного вещественного, 2л-
периодического по t, канонического преобразования, приводящего систему
дифференциальных уравнений (1.1) к нормальной форме. Будем предполагать,
