Методика решения задач механики - Беляшкин А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
(е"*РНе() = (е*,;НРе;). [(2.11)
Перепишем это равенство, преобразуя его левую и правую части. Имеем
(ек, 12Нег) = (ПТе^, 1е;),
(с.-. ИНег) - (IHefc, IcJ,
((r)К) 1^г(r)г) = (^k^ki 1(r)г)-
Последнее равенство можно переписать в виде
(К + А,г)/кг = 9- (2.12)
Так как согласно упорядочению собственных чисел, введенному при
построении матрицы В, величина = 0 только в
случае | I - к | = п, то из (2.12) следует, что /&г
= 0, если
\1 - к | ф п. Таким образом, матрица F имеет такую структуру:
^ II 0 G
F ==
о
(2.13)
где G - диагональная матрица порядка п с элементами Вт = (ею 1еп+к)- Ни
один из элементов gkk не равняется нулю, так как в противном случае
определитель матрицы F равнялся бы нулю. Но
det F - det Вт det I det В = (det В)2 Ф 0,
так как матрица В составлена из собственных векторов, соответствующих
различным собственным числам матрицы IH.
Пусть rtist - действительная и мнимая части собственного вектора е*,
соответствующего собственному числу Хк. Тогда, учитывая комплексную
сопряженность соответствующих компонент
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ
35
векторов ек и еп+ь получим для элементов матрицы G такие выражения:
gkk = - 2i (rk, Is*) (A = 1, 2,, n). (2.14)
Теперь из равенства (2.8) получим такое условие, обеспечивающее
симплектичность матрицы А:
4(r*,Is*) = l. (2.15)
Равенство (2.15) является, с одной стороны, условием нормировки
собственного вектора е*, а с другой-- условием для выбора знака о* в
функции Гамильтона (2.1). Действительно, приравняв в уравнении IHe* =
iokek действительную и мнимую части, получим такую систему уравнений для
г* и sk:
IHr* = - cx*s*, IHsfc = ak rk. (2.16)
При одновременном изменении знаков ак и компонент вектора г* система
уравнений (2.16) не изменяется. Знак же скалярного произведения (г*,
Is*) изменяется на противоположный. Поэтому
равенству (2.15) можно всегда удовлетворить выбором знака ак
в гамильтониане (2.1) и соответствующей нормировкой собственного вектора
ек.
Произведя некоторые вычисления, получим, что симплектиче-ская матрица А
нормализующего преобразования невырожденная, вещественная и к-м ее
столбцом будет вектор -2s*, а (га + к)-м - вектор 2г*.
§ 3. Общие сведения о линейных системах с периодическими коэффициентами
Рассмотрим линейную систему
^ = A (t) х, хт = (хъ . .., хп), (3.1)
где А (t)-непрерывная, 2л-нериодическая по t матрица. Докажем, следуя
[21], теорему (^структуре общего решения системы (3.1).
Теорема (Флоке). Для системы (3.1) фундаментальная матрица решений X (t),
нормированная условием X (0) = Еп, представима в виде
X(t) = Y (t)e(tm), (3.2)
где матрица В - постоянная, a Y - непрерывно дифференцируемая, 2п-
периодическая по t.
Для доказательства заметим прежде всего, что так как X (t) -
фундаментальная матрица решений уравнения (3.1), то в силу
2*
36 ЛИНЕЙНЫЕ ГАМИЛЬТОНОВЫ СИСТЕМЫ [ГЛ. 2
2я-периодичности матрицы А (?) фундаментальной будет также матрица X (? +
2я). А это значит, что справедливо равенство
х (г + 2я) = х (г) с, (3.3)
где С - постоянная матрица. Положив в (3.3) t = О, получим, что С = X
(2я). Таким образом,
X (? + 2я) = X (?) X (2я).
Очевидно, что det X (2я) Ф 0. Значит, X (2я), как всякая невырожденная
матрица, представима [17] в виде
X (2я) = е2ПВ. (3.4)
Теперь положим
Y (?) = X (t) e~Bt (3.5)
и проверим, что Y (t) - 2я-периодическая матрица. Имеем Y (* + 2я) = X (t
+ 2я) e-г""-"' = X (?) X (2я) ве~в' =
= X (?) X (2я) X-1 (2я) e-в* = Y (t).
Таким образом, Y (t) 2я-периодична, а из (3.5), кроме того, видно, что
она непрерывно дифференцируема. Из (3.5) следует еще, что фундаментальная
матрица X (t) представима в виде (3.2). Это и доказывает теорему Флоке.
Следует отметить, что матрицы Y (?) и В, вообще говоря, комплексные [32].
Для дальнейшего введем некоторые определения. Собственные числа матрицы
В, т. е. корни уравнения
det (В - ЯЕ") = 0, (3.6)
называются характеристическими показателями системы (3.1). Собственные
числа р} матрицы X (2я), т. чорни уравнения
det (X (2я) - рЕ") = 0, (3.7)
называются мультипликаторами системы (3.1).
Очевидно, что
РУ = е2ЯЧ (3.8)
или
Xj = In р,- = [In I Py I + i arg р,- + i2foi] (3.9)
(k = 0, ±1, ±2, . . .).
Из последнего равенства видно, что значения характеристических
показателей определяются по значениям мультипликаторов неоднозначно.
УСТОЙЧИВОСТЬ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИСТЕМ
37
Приведем еще без доказательства следующие два утверждения [51] о
характеристическом уравнении (3.7): 1) характеристическое уравнение не
зависит от выбора фундаментальной матрицы решений, 2) характеристическое
уравнение не изменится, если систему (3.1) подвергнуть невырожденному
линейному преобразованию с 2я-периодическими коэффициентами.
Теперь рассмотрим задачу о приводимости системы (3.1). Система (3.1)
называется приводимой, если существует замена переменных
x = L(*)y (3.10)
такая, что система (3.1) преобразуется в систему с постоянными
коэффициентами, а 2я-периодическая матрица L (t) - непрерывно
