Методика решения задач механики - Беляшкин А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
планет.
24
ТОЧКИ ЛИБРАЦИИ ЗАДАЧИ ТРЕХ ТЕЛ
[ГЛ. 1
Таблица 1
Притягивающие тела Ц-10+5 Расстояние точки от тела S
S f J и L.2 и
Солнце Солнце Солнце Солнце Солнце Солнце Солнце Селнце Солнце Солнце
Земля Меркурий Венера Земля Земля + Луна Марс Юпитер Сатурн Уран Нептун
Плутон Луна 0,0163399 0,2447738 0,3003433 0,3040429 0,0323834 95,3843512
28,5632676 4,3725405 5,2938063 0,2499994 1215,06683 0,996214 0,990684
0,99003 0,989989 0,995246 0,93332 0,955039 0,975773 0,974193 0,990619
0,849065 1,003795 1,009373 1,010037 1,010078 1,004769 1,069784 1,04635
1,024624 1,026258 1,00944 1,167833 1-0,0000001 1-0,00000142 1-
0,00000175 1-0,00000178 1-0,00000019 1-0,000556 1-0,000167 1-0,000026 1-
0,000031 1-0,0000014 1-0,007088
Точки либрации для различных тел Солнечной системы представлены в табл.
1.
За единицу расстояния в табл. 1 принята длина соответствующего радиуса-
вектора тела меньшей массы относительно тела S большей массы. Интересно
отметить, что точки либрации L1 и Ь2 для всех планет расположены
значительно дальше, чем орбиты спутников этих планет. Например, для
системы Солнце - Земля точки либрации Lx и Ьг лежат от Земли на
расстоянии, превосходящем расстояние Между Землей и Луной примерно в
четыре раза.
§ 3. Об устойчивости точек либрации
В этом параграфе рассмотрим устойчивость точек либрации в круговой
ограниченной задаче трех тел. Полное исследование устойчивости будет
проведено в главах -7.и 8, а здесь мы остановимся только на
доказательстве давно известного утвержде-
ния [22]: в круговой ограниченной задаче трех тел прямолинейные точки
либрации неустойчивы, а треугольные - устойчивы в первом приближении,
если отношение масс тел S и / достаточно мало; более точно, если
выполнено следующее неравенство:
О <27р (1 - р.) <1. (3.1)
При е - О уравнения возмущенного движения, линеаризованные в окрестности
прямолинейных точек либрации Ьк (к = 1, 2, 3), имеют следующий вид:
I" - 2V - (1 + 2а*)| = О, г)" + 2Г - (1 - ак)т) = 0, (3.2)
+ а?с? =0,
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ТОЧЕК ЛИБРАЦИИ
25
где
П 1-И- I I*
* _ г" + г* ' (3.3)
ri = I.Efc + Iх |* г2 = | + Iх - 11 (А = 1, 2, 3).
А линейные уравнения, соответствующие треугольным точкам либрации Ьк,
запишутся так:
I" _ 2т)' -*±. (1 - 2(1) л = О, (А = 4, 5).
г," + 2Г - Ач - (- 1)*(1 - 2(i) ? = 0, (3.4)
I" + I = О
Будем, пользоваться следующими теоремами Ляпунова об устойчивости по
первому приближению [49], которые приводим здесь без доказательства.
Теорема 1. Если среди корней характеристического уравнения системы
первого приближения имеется хотя бы один с положителъ-hqii вещественной
частью, то невозмущенное движение неустойчиво при любом выборе членов
порядка выше первого в дифференциальных уравнениях возмущенного движения.
Теорема 2. Если характеристическое уравнение системы первого приближения
не имеет корней с положительными вещественными частями, но имеет корни с
вещественными частями, равными нулю, то члены высших порядков в
уравнениях возмущенного движения можно выбрать так, чтобы получить по
желанию как устойчивость, так и неустойчивость.
Характеристическое уравнение системы первого приближения
(3.2) распадается на два уравнения: одно квадратное, соответствующее
пространственной переменной ?, а другое биквадратное, соответствующее
переменным I, тр
Квадратное уравнение записывается в виде
А* + ак = 0 (3.5)
и имеет пару чисто мнимых корней ± i Yа)л так как величина ак
положительна (см. (3.3)).
Биквадратное уравнение записывается в виде равенства нулю определителя
второго порядка
= 0.
Я2 - (1 + 2afc) - 2Я
2Я Я2 - (1 - ан)
Раскрывая этот определитель, получаем
А4 + (2 - a,)A2 + (1 - a*) (1 + 2a*) = 0 (к = 1, 2, 3). (3.6)
26
ТОЧКИ ЛИБРАЦИИ ЗАДАЧИ ТРЕХ ТЕЛ
[ГЛ. 1
Легко показать, что уравнение (3.6) для каждой точки либрации Ьъ Ь2 и L3
имеет два вещественных и два чисто мнимых корня.
В самом деле, чтобы показать это, достаточно убедиться в том, что
величина 1 - ак для каждого к - 1, 2 и 3 отрицательна.
Для точки Ьг это сразу следует из (3.3), так как 0 < ^ < 1 и О <г2 <1.
Для точки Ь2 выразим, следуя [89], ц через г2 из уравнения (2.12):
= Г2 + Зг^ + 3j 14 '¦;+2r| + r" + 2ra + l '
Подставив это выражение в разность 1 - ак и учтя, что в рассматриваемом
случае гг = 1 + г2, получим
1-в2 = 7----------^Т^+^ + З)---- . (3.7)
(,'2 + l)(^ + 2;S + ^+2r2 + l)
Эта величина отрицательна, так как здесь r2 < 1 (см. предыдущий
параграф).
Для точки La можно воспользоваться уравнением (2.10) и, учтя, что в этом
случае г2 = 1 -j- ги для разности 1 - а3 получим выражение, аналогичное
(3.7), в котором надо только г2 заменить на rv А так как здесь гх < 1, то
величина 1 - а3 для точки L3 будет отрицательна.
Таким образом, уравнение (3.6), рассматриваемое как квадратное
относительно А.2, имеет один положительный корень и один отрицательный.
Следовательно, для каждой прямолинейной точки либрации L-K (к = 1, 2, 3)
характеристическое уравнение (3.6) имеет четыре корня вида ±а, ±ф, где
