Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Беляшкин А.Г. -> "Методика решения задач механики" -> 9

Методика решения задач механики - Беляшкин А.Г.

Беляшкин А.Г., Матвеев А.Н., Сараева И.М. Методика решения задач механики — МГУ, 1980. — 160 c.
Скачать (прямая ссылка): metodikaresheniyazadachmehaniki1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 3 4 5 6 7 8 < 9 > 10 11 12 13 14 15 .. 203 >> Следующая

решение соответствует треугольным точкам либрации L4 и Ьь (см. рис. 2).
Точка L4 задается координатами (1 - 2р)/2, Y3/2, 0, а точка Ь5 имеет
координаты (1 - 2р)/2, - -yf 3/2, 0. Она расположена симметрично точке L4
относительно-
Прямолинейные точки либрации найдутся из второго уравнения системы (2.3).
которое при т] = ? = 0 запишется в таком виде:
Функция /(?) непрерывна и конечна на всей вещественной оси, кроме
значений равных +°°, -М- и 1 - Р> гДе она обращается в бесконечность.
Вычислим производную функции /(?). Имеем
на которые числовая ось разбивается точками разрыва функции f (I),
последняя монотонно возрастает, как это видно из вырат жения для
производной (2.8). Учитывая еще тот факт, что при положительном е,
стремящемся к нулю, имеют место следующие предельные соотношения:
(2.5).
и тогда из первого уравнения следует, что
(2.6)
оси 0\.
/(g) = g_(l_p)jl±2^_p
В каждом из трех интервалов
(-оо, -р), (-р, 1 - р), (1 - р, +оо), (2.9)
lim ------------^ = - lim / (- р - е) = lim / (- р + е) =
= - lim / (1 - р - е) = lim / (1 - р + е) = - lim /
получаем, что в каждом из интервалов (2.9) существует, и притом
22
ТОЧКИ ЛИБРАЦИИ ЗАДАЧИ ТРЕХ ТЕЛ
[ГЛ. 1
только одно, решение ? = ?* уравнения (2.7). Эти решения и дают три
прямолинейные точки либрации. По сложившейся традиции точка либрации,
лежащая в интервале (-оо, -р), обозначается через Ь3, точка либрации,
лежащая в интервале (-р, 1 - р), обозначается через Lr и, наконец, точка
либрации Ь2 лежит в интервале (1 - р, +оо).
Покажем, дао абсцисса каждой из прямолинейных точек либрации
удовлетворяет некоторому алгебраическому уравнению пятой степени, которое
для каждой из точек либрации записывается по-своему.
Получим сначала уравнение для точки Ь3. Обозначим через р расстояние от
точки L3 до тела S. Тогда ? = -р - р и из уравнения (2.7) получаем
алгебраическое уравнение пятой степени относительно р:
р5 + (2 + р)р4 + (2р + 1)рз + (р - 1)р2 + 2 (р - 1)р +
+ (1 - 1=0. (2.10)
Чтобы получить уравнение для точки Lu положим ? = 1 - - р - р. Здесь
теперь р есть расстояние от точки либрации до тела J. Из (2.7) получаем
р5 - (3 - р)р4 + (3-2р)р3 - рр2 + 2рр - р = 0. (2.11)
И, наконец, для получения уравнения, определяющего положение точки
либрации Ь2, положим ? = 1 - р + р, где р - расстояние от точки Ь2 до
тела /. Уравнение, определяющее р, имеет вид
р5 + (3 - р)р4 + (3-2р)р3 - рр2 - 2рр - и = 0.1 (2.12)
Как следует из вышеизложенного, каждое из уравнений
(2.10)-(2.12) имеет единственный положительный корень. При малых
значениях р значения корней можно найти в виде рядов. Значения координаты
?к, определяющей положение прямолинейной точки либрации Lk, может быть
легко вычислено (см., например, [22]). Получаются следующие разложения:
ь = 1-ВгГ+4-+Г-? (+)*+¦••¦
6" = 1 + +)''¦ + 4- (+¦'• - f (тГ + ¦ • - <2-,3>
Ь = -1-п-и-...
Из (2.13) видно, как изменяется положение прямолинейных точек либрации,
когда меньшая из двух конечных масс уменьшается. Точка Lx перемещается
слева направо, приближаясь к своему предельному положению, совпадающему с
телом J меньшей массы тг. Положение точки Ь2 также стремится совпасть с
положением
ЧАСТНЫЕ РЕШЕНИЯ ОГРАНИЧЕННОЙ ЗАДАЧИ
23
тела /, но это стремление происходит справа налево. Точка либрации Ь3 при
уменьшении р перемещается слева направо, стремясь к своему предельному
положению, находящемуся на единичном расстоянии слева от тела большей
массы тпх.
Уравнения (2.10)-(2.12) позволяют также оценить расстояния от точек
либрации до тел S и / при произвольных значениях р. Обозначим через Fk
(р) левые части уравнений (2.10)-(2.12), определяющих положения точек
либрации относительно
тел S и /. Имеют место соотношения
Ft (0) = -Р <0, F, (1 - р) = (1-2р) (1 - р + р2) > 0,
Рч (0) = -Р <0, F* (1) = 7 (1 - р) > 0, (2.14)
F3 (0) = р - 1 <0, F3 (1) = 7р > 0.
Соотношения (2.14) показывают, что расстояния точек либрации L2 и Ь3
соответственно от тел / и S при всех р (0 <; р < х/2) лежат в интервале
(0, 1). Точка либрации Ьх расположена между центром масс тел 5и/и телом /
меньшей массы. Отметим еще очевидный факт, что точка либрации Lx
совпадает с центром масс тел S и / в том случае, когда их массы равны (р
= V2).
На рис. 3 представлены графики абсцисс (к = 1, 2, 3), соответствующих
точкам либрации Lh, в зависимости от р. Эти графики получены с помощью
численного решения уравнения (2.7) при произвольных р из интервала (0,
У2).
Рис. 3. Корни уравнения (2.7) как функции р.
Если в Солнечной системе учитывать только притяжение Солнца и одной из
планет, то каждой планете будут соответствовать три прямолинейных точки
либрации. Таким образом, теле бесконечно малой массы, попав в любую из
этих точек либрации с нулевой относительной скоростью, все время
двигалось бы пе эллипсу, подобному эллипсу соответствующей планеты, и
оставалось бы на прямой, проходящей через эту планету и Солнце. В
реальной ситуации надо, конечно, учитывать и малые возмущения от других
Предыдущая << 1 .. 3 4 5 6 7 8 < 9 > 10 11 12 13 14 15 .. 203 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed