Методика решения задач механики - Беляшкин А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
знакоопределенная, а сама функция V в области (3.11) при t0 достаточно
больших и h достаточно малых может принимать значения того же знака, что
и производная, то невозмущенное движение неустойчиво.
Определение. Областью V 0 называется одна из областей окрестности начала
координат
I I ^
которая ограничена поверхностью V = 0 и в которой функция V принимает
только положительные значения.
Теорема (теорема Четаева о неустойчивости). Если существует функция V (t,
хг, . . .. хп) такая, что
а) при сколь угодно больших t в сколь угодно малой окрестности начала
координат существует область V 0;
б) в области V 0 функция V ограничена',
в) в области V 0 производная dV/dt в силу уравнений возмущенного движения
положительна, причем для всех значений t, хх, . . ., хп, связанных
соотношением V (t, хъ . . ., хп) а, где а - какое-нибудь положительное
число, выполняется неравенство dV/dt р, где В - тоже некоторое
положительное число, то невозмущенное движение неустойчиво.
Определение. Функцию V, удовлетворяющую последней теореме, называют
функцией Четаева.
ГЛАВА 2
ГАМИЛЬТОНОВЫ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 1. Устойчивость линейных гамильтоновых систем с постоянными
коэффициентами
Дифференциальные уравнения возмущенного движения, к рассмотрению которых
приводит задача об устойчивости движения, как правило, нелинейны. Их
исследование начинается обычно с анализа соответствующей системы
уравнений первого приближения. Будем рассматривать только те случаи,
когда дифференциальные уравнения первого приближения линейные.
Итак, пусть задана гамильтонова система линейных дифференциальных
уравнений
= IHx* хт = (хи ..., атг., Xr,+i, ¦ ¦ х2п). (1.1)
Переменные хк и хп+к - канонически сопряженные (хк - координаты, х-п+к -
импульсы) в соответствующей механической задаче. Матрица I порядка 2п
имеет вид
I-Ц oil (I-1 = IT = - I- 12 = -E*., detl-l), (1.2)
il тг ||
где Efc - единичная матрица порядка к. Знаком "т" обозначена операция
транспонирования матрицы. Через Н в системе уравнений (1.1) обозначена
вещественная симметрическая матрица порядка 2п. Она либо постоянна, либо
является непрерывной, 2я-периодической по t.
Пусть матрица Н в системе уравнений (1.1) постоянна. Для решения вопроса
об устойчивости рассмотрим характеристическое уравнение
р (X) = det (IH - ХЕ2П) = 0. (1.3)
Покажем, что характеристический многочлен р (к) - четная функция X. Для
этого рассмотрим следующую цепочку равенств:
р (X) = det (IH - ЛЕ^) = det (IH - ^E2n)T = det (НТГ - ЬЕ^) =
= det (- HI - JlEan) = det (PHI + ME2nI) = det I (IH + ^E2n) I =
= det I det (IH -f 1E2") det 1 = 1- det (IH -j- A,E2n) -1 = p (- X).
УСТОЙЧИВОСТЬ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМ
31
Таким образом, уравнение (1.3) содержит только четные степени К. Поэтому,
если у него есть корень % - а, имеющий отрицательную вещественную часть,
то обязательно будет и корень К = -а с положительной вещественной частью,
а значит, система (1.1) (а вместе с ней и невозмущенное движение)
неустойчива.
Мы получили, следовательно, такое условие устойчивости системы (1.1): для
устойчивости системы (1.1) необходимо, Чтрбь корни характеристического
уравнения были чисто мнимыми. Это условие будет и достаточным, если
дополнительно потребовать, чтобы матрица IH приводилась к диагональной
форме [51].
Но будет ли при выполнении этих условий устойчиво невозмущенное движение
- зависит от членов более высокого порядка в нелинейных уравнениях
возмущенного движения.
Выполнимость необходимых и достаточных условий устойчи вости системы
(1.1) гарантирована в том частном случае, когДа соответствующая функция
Гамильтона Н знакоопределенна. Тогда, приняв ее за функцию Ляпунова V и
учтя, что ГГ = const, на основании теоремы Ляпунова получим вывод об
устойчивости системы (1.1). В этом случае характеристическое уравнение
всегда имеет только чисто мнимые корни и независимо от их кратности
матрица IH обязательно приводится к диагональной форме.
В случае знакоопределенности Н невозмущенное движение автономной
гамильтоновой системы будет устойчивым и в строгой нелинейной постановке
задачи. Поэтому для полного решения вопроса об устойчивости
невозмущенного движения в этом случае достаточно рассмотрения линейной
системы (1.1) или квадратичной части функции Гамильтона. Но уравнение
(1.3) может иметь чисто мнимые корни и тогда, когда функция Гамильтона не
будет знакоопределенной. Такой будет, например, следующая система
дифференциальных уравнений первого приближения:
= Va+t, = (- 1)& ВД (Л == 1, 2). (1.4)
Характеристическое уравнение системы (1.4) имеет две пары чисто мнимых
корней ±г'о,1 и ±йг2. Соответствующая матрица IH приводима к диагональной
форме, а функция Гамильтона
Н = ~2~О!(агх -f- х|)-2~<т2(.г* + #4) (<т* 0)
не является знакоопределенной. В этом случае для решения задачи об
устойчивости невозмущенного движения недостаточно рассмотрения линейной
системы (1.4) и необходимо проводить анализ полной нелинейной системы
