Методика решения задач механики - Беляшкин А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
аир - вещественные величины, отличные от нуля. Отсюда, согласно теореме
Ляпунова об устойчивости по первому приближению, следует неустойчивость
прямолинейных точек либрации круговой ограниченной задачи трех тел.
Характеристическое уравнение системы первого приближения
(3.4) для треугольных точек либрации L4 и Ьъ тоже распадается на
квадратное, соответствующее переменной ? и имеющее два чисто мнимых корня
±г, и биквадратное
Ь4 + А2+-^р(1-р) = 0, (3.8)
соответствующее переменным ?, г;.
Бели
27ц (1 - ц) > 1, (3.9)
то уравнение (3.8) имеет две пары комплексных корней и, следовательно,
два из этих четырех корней заведомо будут иметь положи-
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ТОЧЕК ЛИБРАЦИИ
27
тельные вещественные части. Поэтому, согласно теореме Ляпунова, при
выполнении условия (3.9) треугольные точки либрации неустойчивы.
Если же выполнено неравенство 0 <27р (1 - р) <1, то уравнение (3.8) имеет
четыре различных чисто мнимых корня и точки либрации устойчивы в первом
приближении. Полностью вопрос об устойчивости в этом случае не может быть
решен рассмотрением линейной задачи. Согласно теореме Ляпунова об
устойчивости по первому приближению строгое решение возможно лишь при
учете нелинейных членов в уравнениях возмущенного движения.
Если, наконец, 27р (1 - р) = 1, то уравнение (3.8) имеет две пары кратных
чисто мнимых корней ± i 2/2. И в этом случае уже нет устойчивости в
линейном приближении, так как (см., например, [89]) общее решение системы
(3.4) первого приближения содержит неограниченно растущие со временем
слагаемые вида
. У1 у~2 " " -
v sin -~2- v и v cos - v. П нелинейной задаче, однако, точки либрации
могут стать устойчивыми.
Случаи, когда задача об устойчивости гамильтоновых систем не решается
линейным приближением, будут исследованы в последующих главах. При
исследовании мы часто будем использовать теоремы второго метода Ляпунова
теории устойчивости движения. Приведем здесь некоторые определения и
сформулируем необходимые в дальнейшем теоремы. Доказательство этих теорем
можно найти, например, в [51, 95].
Пусть дифференциальные уравнения движения имеют вид
(1х.
= Xi (t, хх, . . ., хп) (i = 1, 2, .. ., п), (3.10>
где функции Xi, например, аналитичны относительно хъ . . ., хп и
непрерывны по t в области
t>t0, (3.11),
Предположим, что Xt (t, 0, 0, . . ., 0) = 0. Тогда система (3.10)'
допускает частное решение xt = 0 (г = 1, 2, . . ., п), которое будем
называть невозмущенным. Пусть в момент времени t, равный t0, xt = а:,-о,
и будем рассматривать движение при t t0. Тогда xi (t) называется
возмущенным движением, а уравнения (3.10) - уравнениями возмущенного
движения.
Рассмотрим функцию V it, хъ . .., хп), определенную в области (3.11).
Пусть функция V дифференцируема. Тогда ее полная производная по времени в
силу уравнений возмущенного.
28
ТОЧКИ ЛИБРАЦИИ ЗАДАЧИ ТРЕХ ТЕЛ
[ГЛ. 1
движения запишется так:
dV _ a*Lj_V - X ClW
dt ~ dt + 2j dXi \dA^>
i=l
Определение. Если функция V и ее производная (3.12) непрерывны и
однозначны в области (3.11) и если они тождественно равны нулю
при хг = . . . = хп = 0, то функцию V назы-
вают функцией Ляпунова.
Определение. Не зависящая от t функция Ляпунова V называется
знакоопределенной (определенно-положительной или определенно-
отрицательной), если она при
I *i I < h (i = 1, 2, . . ., п),
где h - достаточно малое положительное число, может принимать значения
только одного знака и обращается в нуль только при хх = х2 = . . . = хп =
0.
Определение. Функция Ляпунова V, явно зависящая от t, называется
определенно-положительной, если она в области (3.11) при t0 достаточно
большом и h достаточно малом удовлетворяет неравенству
V (t, х±, . . ., хп) ^ РЕ (^ъ • • "I *^п)?
где W - определенно-положительная функция.
Определение. Функция V называется знакопостоянной, если в области (3.11)
при ?0 достаточно большом и h достаточно малом она принимает значения
только одного определенного знака, но может обращаться в нуль и при х\ +
. . . + х\ Ф 0.
Определение. Функция \, не являющаяся ни знакоопределенной, ни
знакопостоянной, называется знакопеременной.
Определение. Говорят, что функция V (t, хг, ..., хп) допускает бесконечно
малый высший предел, если для любого положительного числа е можно найти
другое положительное число б такое, что при всех значениях (t, хъ . . .,
хп), удовлетворяющих неравенствам
t>t0, | xt | < б (г = 1, 2, . . ., п),
будет выполняться неравенство
| V (t, х±, . . ., хп) | ^ 8.
Теорема (теорема Ляпунова об устойчивости). Если существует
знакоопределенная функция V, для которой производная в силу уравнений
возмущенного движения есть функция знакопостоянная, знака,
противоположного с V, или тождественно обращается в нуль, то
невозмущенное движение устойчиво.
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ТОЧЕК ЛИБРАЦИИ
29
Теорема (теорема Ляпунова о неустойчивости). Если существует допускающая
бесконечно малый высший предел функция V (t, хъ . . ., хп), производная
которой в силу уравнений возмущенного движения есть функция
