Методика решения задач механики - Беляшкин А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Во второй - пятой главах рассмотрены задачи теории гамильтоновых систем и
ее приложений. Вторая глава посвящена линейным гамильтоновым системам.
Приводятся результаты Ляпунова об устойчивости линейных гамильтоновых
систем с постоянными или периодическими коэффициентами. Для устойчивых
систем в случае простых корней характеристического уравнения строятся
конструктивные алгоритмы приведения системы к нормальным координатам. Тут
же приводится теорема Ляпунова - Пуанкаре о характеристическом уравнении
гамильтоновых систем и рассматривается задача о параметрическом резонансе
в гамильтоновых системах, содержащих малые периодические возмущения. В
последнем параграфе второй главы получены области параметрического
резонанса в первом приближении по малому параметру и приведены
необходимые расчетные формулы.
В главе 3 изучается устойчивость гамильтоновой системы с одной степенью
свободы и 2я-периодической по времени функцией Гамильтона. К такой
системе может быть, например, приведена задача об устойчивости
периодических движений круговой ограниченной задачи трех тел, отличных от
точек либрации. Предполагается, что линеаризованная система устойчива, а
ее мультипликаторы различны. Частные случаи этой задачи рассматривались в
классических исследованиях Леви-Чивита и в недавних работах Зигеля,
Мермана, Каменкова и Мустахшпева. В главе 3 рассматриваются как
нерезонансный, так я резонансный случаи (когда характеристические
показатели + iX таковы, что число кк будет целым при произвольном целом к
> 3). Исследование основано на приведении функции Гамильтона к нормальной
форме и последующем применении теоремы Ляпунова о неустойчивости и
теоремы Мозера об инвариантных кривых [72]. Получены условия устойчивости
и неустойчивости.
В главе 4 исследована устойчивость автономной гамильтоновой системы с
двумя степенями свободы. Здесь основное внимание
12
ВВЕДЕНИЕ
уделяется тем критическим случаям, когда неприменима известная теорема
Арнольда - Мозера [72]. В случае разонансов третьего и четвертого
порядков (когда частоты линеаризованной системы связаны соотношениями нц
= 2со2 и щ - Зсо2 соответственно) получены условия устойчивости и
неустойчивости. При отсутствии резонансов до порядка 2к включительно
получено утверждение об устойчивости, обобщающее теорему Арнольда -
Мозера на случай, когда при учете в разложении функции Гамильтона членов
до порядка 2к - 1 в системе имеется вырождение, снимаемое учетом членов
2/с-г о порядка. Здесь же в четвертой главе рассмотрена задача об
устойчивости в случае кратных частот (сщ = со2). Получены условия
неустойчивости и формальной устойчивости. В конце главы приведены
расчетные формулы, необходимые для применения полученных результатов в
конкретных механических задачах.
Глава 5 посвящена рассмотрению многомерных гамильтоновых систем. Здесь
для 2я-периодической по времени гамильтоновой системы с двумя степенями
свободы при помощи теоремы Четаева о неустойчивости доказаны утверждения
о неустойчивости при наличии резонансов третьего и четвертого порядков и
рассмотрены различные аспекты задачи об устойчивости движения в
многомерных гамильтоновых системах. Излагаются результаты Арнольда по
устойчивости для большинства начальных данных, формулируется и
доказывается теорема Брюно о формальной устойчивости гамильтоновых
систем, рассматриваются основные результаты исследований Нехорошева об
оценке скорости диффузии Арнольда [78-81] в многомерных гамильтоновых
системах, близких к интегрируемым.
Для практического применения полученных результатов нужно иметь
эффективные способы нахождения нормальной формы функции Гамильтона.
Нахождение нормальной формы в неавтономном случае особенно затруднено.
Если, например, воспользоваться классическим преобразованием Биркгофа, то
для нахождения соответствующей производящей функции придется строить
периодические решения некоторой системы дифференциальных уравнений.
Необходимые при этом вычисления весьма громоздки.
В главе 6 предлагается способ нормализации, отличный от классического и
основанный на применении к 2я-периодической по t гамильтоновой системе
метода точечных отображений. При нахождении точечного отображения
используется тот факт, что преобразование фазового пространства,
осуществляемое движениями гамильтоновой системы, является каноническим и
находится не само отображение, а его производящая функция S,
удовлетворяющая уравнению Гамильтона - Якоби. При нахождении
коэффициентов производящей функции, конечно, нужно проинтегрировать от t
=s 0 до t = 2я некоторую систему обыкновенных дифференциаль-
ВВЕДЕНИЕ
13
ных уравнений, но с фиксированными (нулевыми) начальными условиями. После
получения функции S вводятся такие координаты, в которых она записывается
в простейшей (нормальной) форме. А затем по нормальной форме функции S
находится нормальная форма соответствующей функции Гамильтона.
В главе 6 также рассмотрены резонансные случаи в для резонансов третьего
