Методика решения задач механики - Беляшкин А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
и четвертого порядков доказаны утверждения о неустойчивости неподвижных
точек точечных отображений, задаваемых периодическими по времени
гамильтоновыми системами обыкновенных дифференциальных уравнений.
Доказательства основаны на перенесенной здесь на точечные отображения
теореме Че-таева о неустойчивости.
В главах седьмой - десятой решается задача об устойчивости треугольных
точек либрации ограниченной задачи трех тел. В главе 7 рассмотрен случай
плоской круговой задачи. Наиболее существенное исследование устойчивости
в этом случае раньше было проведено Леонтовичем и Депри. В их работах
[37, 111] для решения задачи устойчивости применялась теорема Арнольда -
Мозера и не были исследованы те случаи, когда эта теорема неприменима. В
главе 7 при помощи результатов главы 4 задача об устойчивости треугольных
точек либрации решена полностью. Показано, что в области устойчивости в
первом приближении точки либрации действительно устойчивы по Ляпунову, за
исключением двух значений параметра р, при которых имеет место
неустойчивость. Эти значения рх и р2 соответствуют резонансам вц = 2"в2 и
(щ - Зю2 между частотами линейной системы.
В конце главы 7 рассмотрена устойчивость точек либрации при критическом
отношении масс Рауса. Для этого отношения масс характеристическое
уравнение линейной системы имеет чисто мнимые кратные корни, а точки
либрации в линейном приближении неустойчивы. Строгий нелинейный анализ
показал, что имеет место формальная устойчивость.
Глава 8 посвящена исследованию треугольных точек либрации в
пространственной круговой задаче. Доказано, что при всех значениях р из
области устойчивости в линейном приближении имеет место устойчивость для
большинства начальных условий, за исключением двух значений р, для
которых в главе 7 доказана неустойчивость. Кроме того, доказано, что для
почти всех значений р из области устойчивости в линейном приближении
точки либрации в пространственной круговой задаче формально устойчивы. В
заключение главы показана формальная устойчивость треугольных точек
либрации при критическом отношении масс Рауса.
В главе 9 рассмотрена плоская эллиптическая задача. Здесь задача
чрезвычайно усложняется, так как независимая переменная явно входит в
уравнения движения. Первые исследования устойчивости треугольных точек
либрации в эллиптической задаче
14
ВВЕДЕНИЕ
трех тел принадлежат Ляпунову [48]. Он рассматривал задачу н линейном
приближении. Многочисленные позднейшие исследования многих авторов также
связаны только с линейной задачей.
В главе 9 задача устойчивости рассмотрена в строгой нелинейной
постановке. Исследование проводится как аналитическими (при малых
значениях эксцентриситета е), так и численными (при произвольных
параметрах е и р) методами. В области устойчивости в линейном
приближении, полученной впервые Дэнби [110], выделены кривые, на которых
выполнены резонансные соотношения третьего и четвертого порядков. Для
значений параметров е и р, принадлежащих этим кривым, показаны либо
неустойчивость, либо устойчивость в конечном (но достаточно высоком)
нелинейном приближении. При значениях параметров, не принадлежащих этим
кривым (а иногда еще и кривым, на которых выполнены резонансные
соотношения пятого и шестого порядков), доказаны устойчивость для
большинства начальных условий и формальная устойчивость.
Самым сложным в задаче об устойчивости треугольных точек либрации
является случай пространственной эллиптической задачи. Он исследуется в
главе 10. Помимо увеличения числа степеней свободы изучаемой динамической
системы, здесь возникает еще одна характерная только для этой задачи
особенность: имеет место тождественный (при всех е и р) резонанс из-за
равенства периода кеплеровского движения основных притягивающих тел и
периода линейных колебаний тела бесконечно малой массы по направлению,
перпендикулярному плоскости их орбиты.
Полученные в главах 3-5 условия устойчивости и неустойчивости здесь
неприменимы. Требуется особое исследование, которое в главе 10 проводится
при помощи второго метода Ляпунова. Результаты этого исследования
применяются при аналитическом и численном анализе устойчивости.
Для достаточно малых значений е и р получена область неустойчивости. Она
является очень узкой областью. В плоскости е, р одной из ее границ
является ось Ое, а другой - кривая, мало отличающая от параболы е = 3953
У р. При произвольных е и р проводится численное исследование. Новые
области неустойчивости не обнаружены.
Глава 11 содержит изложение основ метода Депри - Хори в теории возмущений
гамильтоновых систем. В настоящее время на русском языке нет еще
достаточно подробного описания этого метода. Разработанный сравнительно
недавно [113, 142], он имеет значительные преимущества перед широко
известными классическими методами, такими как, например, преобразование
Бирк-гофа [7] или метод Цейпеля [9]. Практическое построение канонических
преобразований в методе Депри - Хори основано на использовании рядов Ли и
