Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Беляшкин А.Г. -> "Методика решения задач механики" -> 8

Методика решения задач механики - Беляшкин А.Г.

Беляшкин А.Г., Матвеев А.Н., Сараева И.М. Методика решения задач механики — МГУ, 1980. — 160 c.
Скачать (прямая ссылка): metodikaresheniyazadachmehaniki1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 7 < 8 > 9 10 11 12 13 14 .. 203 >> Следующая

плоскости движения тел S и /, то говорят, что соответствующая
ограниченная задача плоская; если же тело Р в своем движении выходит из
плоскости орбиты тел S и /, то говорят о пространственной ограниченной
задаче.
Получим дифференциальные уравнения, определяющие движение тела Р в
ограниченной задаче трех тел. Введем (рис. 1) систему координат Oxyz с
началом в центре масс тел S и /. Плоскость Оху совместим с плоскостью
орбиты тела / относительно S. Ось Ох направим по прямой SJ в сторону тела
/.
18
ТОЧКИ ЛИБРАЦИИ ЗАДАЧИ ТРЕХ ТЕЛ
[ГЛ. 1
Кратчайший поворот от оси Ох к оси Оу совпадает с направлением вращения
тела / относительно тела S. Ось Oz дополняет
оси Ох и Оу до правой системы координат.
Кинетическая энергия Т тела Р и силовая функция U вычисляются по формулам
_1
2
Т = -тшъ[{х~ vy)2 + (у + ух)2 + Z2],
(1.2)
U = + (1.3)

Рис. 1. КJвыводу уравне-
ний движения.
Точкой в (1.2) и далее обозначается дифференцирование по времени t.
Величины гх и г2 в (1.3) - расстояния тела Р от тел S и J соответственно:
О =
Y(:
тп2
тх + т2
rf + У* +
(1.4)
При помощи функции Лагранжа L = Т -\-U выписываем дифференциальные
уравнения движения тела Р
9W
2 vy -¦ vy - v2x = ¦ -¦
X - Zvv -¦ vy - v'x ij -j- 2vx + vx - v2y z
dW
dy
aw
(1.5)
Здесь через W обозначена силовая функция (1.3), разделенная на тг.
Сделаем в уравнениях (1.5) замену переменных, введенную Нехвилом [22]:
х = г%, у = rr\, z - (1.6)
где г определяется формулами кеплеровского движения (1.1). Кроме того,
перейдем к новой независимой переменной истинной аномалии v. Производные
по v обозначим штрихами. Получаем такие соотношения:
х - [(!-(- е cos v) i" + е cos v?] (1 + e cos v)3,
у - Y- [(1 -|_ e cos v) г)' + e sin vr)],
(1.7)
c /A
V=7T(1
e cos v)2,
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
19
V =
1сЧ
^ (1.7)
317 (l-|-ecosv)2 317
sin v (1 + ecos v)3,
dx p2 d\
где в функции W, входящей в правую часть последнего равенства, величины
Гх и г2 вычисляются по формулам
r' = V (^+^т^Г + 11''+е'' г> = /(б-^т^Г + ча + Сг-
Подставив выражения (1.7) в первое уравнение системы (1.5), получим
у _ 9"> 1 Е_ р 1 aw
1 -{- е cos v с2 1 + е cos v д\
1 317
1 -j- е cos v
1 317
1 -j-e cos v 3r)
1 317
1 -f е cos v "С
Аналогично преобразуются остальные уравнения системы (1.5). В результате
получим следующую систему дифференциальных уравнений:
I - 2ц 1 _|_ е cos v ^ =
if + 2?'--r-- Ц=ТлГ 4г^' С1-8)
1,0 ^ _1_ g COS V ^ р v '"Г|
тм _J_ е CQS v ?-_
= ' 1 -)- е cos v *
где теперь
W = 1-± + ±-, ц=----- (0<ц< 1), (1.9)
Гх ' т1 + m2 V 2 ) v '
Гх = 1/(| + р,)2 + Г)2 + ?2, Г2 = + -1)а + Г]2 + ?2.
Если ввести функцию Q по формуле
Q = -i- (?2 + if) 1- с cos v?2 + IF,
то уравнения движения (1.8) запишутся в более компактной форме:
у 2п' = 1
1 1 -j- е cos v ЗЕ, '
20
ТОЧКИ ЛИБРАЦИИ ЗАДАЧИ ТРЕХ ТЕЛ
[ГЛ. 1
§ 2. Точки либрации - частные решения ограниченной задачи трех тел
Покажем, что уравнения (1.10) удовлетворяются некоторыми постоянными
значениями координат Нехвила 1, р, С- Из (1.9) -
(1.10) сразу следует, что постоянное решение
I = Is, л = *]*, ? = ?* (2.1)
возможно только тогда, когда ?* = 0, а ?*и р* удовлетворяют системе
уравнений с двумя неизвестными
g, -|- p. dW ^ + Р - 1 9W у
гх Этд + г2 Эг2 " - б'
_р_ dW_ jl - _
Г1 Этд г2 Зг2 ~ ^
Система уравнений (2.2) эквивалентна совокупности двух систем уравнений:
Э?д г2 Эг2 -
ЭРУ гх ЭРУ
¦ Гц
Эгх г2 Эг2 /п м
5 + р. ЭТУ ?, -f- tx - 1 ЭТУ _ _ t К '
гг Этд "1" г2 Эг2 -
Каждому решению систем (2.3) - (2.4) соответствует в системе координат ?
равновесное решение уравнений движения (1.10). В системе координат 0%р?
точки S и / неподвижны и равновесные решения соответствуют таким частным
движениям тела Р, когда
они вместе с телами S и / образу-I ют некоторую неизменную
конфи-
¦ / /
/
/
/
К*
/
/
\
\
\
\
\
/ \ гурацию.
\ Равновесные решения уравне-
ч ний Нехвила (1.10) часто назы-
\____"_______^ вают точками либрации. Сущест-
0 Z/ /J Ьг ? в уют только пять точек либрации. / Три из них, Ь1г L2 и
Ь3, лежат на
/ прямой, проходящей через S и/,
V, а две остальные, L4 и Ьь, образу-
s ют с телами S и / равносторонние
Рис. 2. Прямолинейные и тре- треугольники. Схематически рас-угольные
точки либрации. положение точек либрации ограниченной задачи трех тел
показано на рис. 2. Точки либрации Lu Ь2, Ь3, и L4, Ls называют
прямолинейными и треугольными точками либрации соответственно.
§ 21
частные; решения ограниченной задачи
Б абсолютной системе координат точки либрации соответствуют таким частным
движениям в задаче трех тел, для которых три тела S, J и Р описывают
подобные кеплеровские орбиты относительно их общего центра масс.
Найдем теперь точки либрации, т. е. решения систем уравнений
(2.3) и (2.4). Рассмотрим сначала систему (2.4). Подставив выражение для
дWldr1 из первого уравнения системы (2.4) во второе уравнение, получим
Воспользовавшись теперь выражением (1.9) для W, получим, что система
уравнений (2.4) имеет единственное вещественное решение гг = г2 = 1. Это
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 7 < 8 > 9 10 11 12 13 14 .. 203 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed