Теория ядерных реакторов - Белл Д.
Скачать (прямая ссылка):
(Bg' -*¦ g )т,т — °s0 , g' -* g (хт)’
а т-я компонента вектора vFg есть AmvFg (хт). В общем виде vFg можно записать следующим образом:
vFg = 2 Cg'_>g ф (4.59)
g'
где Cg'-g — диагональная матрица с неотрицательными компонентами, которые для плоской геометрии определяются выражением
(?g' -*g)m.m = v07, g' C*m)-
Если уравнение (4.58) подставить в (4.57), то получим, что
АеФі= 2 вг'-*g Фі' + vFg/&. (4.60)
g'?=g
Система конечно-разностных уравнений (4.59) и (4.60) есть многогрупповая задача на собственное значение, которую следует решать методом внешних итераций, описанным в разд. 4.4.4. Решение дает эффективный коэффициент размножения вместе с соответствующей собственной функцией ф g для каждой группы, т. е. g — 1,2, ...,G. В рассматриваемом случае схема внешних итераций, которая была представлена в Р^приближении уравнениями (4.45) —
(4.48), выражается уравнением
А ,?*“’= (4.61)
gVg
соответствующим уравнениям (4.45) и (4.46), где
vFgl-!) — У ф{3п~1)- (4.62)
г'
Кроме того, из уравнения (4.47) можно рассчитать приближенное значение k, т. е. k{n), в виде
kin) =-----f (4.63)
Vf(«- *»/*<«—¦)
где в принятой системе обозначений vF{n) — полный источник нейтронов деления — можно представить как
Vf^=SvFy0-I. (4.64)
g
Здесь I — вектор, имеющий единичные компоненты, такой, что vFg-І представляет собой сумму по элементам объема или объемный интеграл от vFg.
Как обсуждалось в разд. 4.4.4, метод решения уравнений (4.61)—(4.64)
состоит в выборе пробной функции x'Fg0>/k<°\ расчете <pg1} из уравнения (4.61) и последующем получении величины VFglyIkP) из уравнений (4.62), (4.63) и (4.64). Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока не будет достигнута его сходимость.
.Бьыа исследована система уравнений (4.59) и (4.60) и показано [20], что наибольшее собственное значение k является положительным и простым, а также, что соответствующий ему единственный собственный вектор может быть выбран таким образом, чтобы иметь неотрицательные компоненты. Кроме того, было доказано, что метод итераций по источникам деления сходится к этому собственному вектору. Эти выводы аналогичны описанным в разд. 4.4.3 для многогрупповых уравнений с непрерывной пространственной зависимостью потока нейтронов. К тому же они обеспечивают прочную основу для использования метода внешних итераций. Как и в случае внутренних итераций, имеются различные методы для ускорения сходимости внешних итераций [21].
153
Были рассмотрены также дискретные нестационарные многогрупповые уравнения, полученные добавлением к левой части уравнения (4.54) члена (alv„)d<p Jdt при k = 1 [22]. Решение этой краевой задачи имеет экспоненциальную временную зависимость, пропорциональную ехр (а^) при t-*¦ оо. Следовательно, критическое состояние системы можно определить, основываясь на знаке а. Результаты, приведенные в разд. 1.5 для общей теории переноса нейтронов и разд. 4.4.3 для многогруппового диффузионного приближении с непрерывной пространственной зависимостью потока нейтронов, распространяются и на многогрупповое диффузионное приближение с дискретным пространственным представлением потока нейтронов. Кроме того, коэффициент перед экспоненциальным решением дается в виде произведения вектора начального потока нейтронов и нормированного положительного собственного вектора сопряженных уравнений (см. гл. 6). Когда в уравнении присутствует источник, то ограниченное нестационарное решение при t—*-oо можно получить только для подкритической системы, что находится в соответствии с физическими соображениями, изложенными в разд. 1.5.4.
4.4.7. ВНЕШНИЕ ИТЕРАЦИИ В МНОГОГРУППОВОМ
P1-ПРИБЛИЖЕНИИ
Проведенный в предыдущем разделе анализ" был основан на многогрупповом диффузионном приближении. Для большинства других приближений, включая и Рх-приближение, также проведен соответствующий математический анализ. Часто нельзя сделать никаких выводов, поскольку система конечно-разностных уравнений не будет соответствовать положительному оператору [23]. Тем не менее общая стратегия внешних итераций успешно применялась в большинстве многогрупповых задач, включая, например, основанные на разложении в ряд по сферическим гармоникам или на методе дискретных ординат (см. разд. 5.4.3), в которых метод внешних итераций не имеет прочной математической основы. При таких условиях метод внешних итераций не всегда должен приводить к устойчивому численному решению; тем не менее на практике он оказывается очень плодотворным.
В связи с соотношением между P1- и диффузионным приближениями интересно выяснить, почему результаты анализа диффузионного приближения, проведенного в разд. 4.4.6, неприменимы к Р^приближению. Объяснение этому можно найти в выражении (3.24), которое описывает компоненту вектора источника для односкоростной задачи в Р^приближении. Соответствующие многогрупповые значения Q0 и Q1 определяются уравнениями (4.52) и (4.53) соответственно. Комбинируя эти результаты, находим, что вектор источника в Р^приближении невозможно выразить в простом виде уравнения (4.58), применимого в диффузионном приближении.
