Теория ядерных реакторов - Белл Д.
Скачать (прямая ссылка):
g'
Следует отметить, что при попытке вывести закон Фика из уравнения (4.43) необходимо было бы пренебречь членом 3 (a/v1>g)5g для того, чтобы получить коэффициент диффузии D8, не зависящий от а. Это пренебрежение являегся общепринятым в нестационарном диффузионном приближении [10].
Как и в обычном уравнении критичности (1.55), в многогрупповом уравнении Р^приближения (4.42) для собственного значения айв многогрупповом уравнении диффузионного приближения (4.44) появляется член (aIv0tg) ф^ Таким образом, он эквивалентен члену, описывающему поглощение по закону 1/у, и для положительного а часто говорят, что он представляет собой «временное поглощение», как отмечалось в разд. 1.5.6.
4.4.3. СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ
В МНОГОГРУППОВОМ ДИФФУЗИОННОМ ПРИБЛИЖЕНИИ
Уравнения, приведенные в предыдущем разделе для собственных значений k и а в многогрупповых уравнениях P1-и диффузионного приближений, используются для определения собственных функций, которые удовлетворяют соответствующим граничным условиям. В разд. 1.5.3, 1.5.5 было показано, в каком смысле эти собственные значения существуют для полного уравнения переноса, и теперь необходимо рассмотреть их свойства в много-
146
групповых уравнениях. В частности, именно в связи с многогрупповым диффузионным приближением была получена информация, касающаяся существования собственных значений и природы соответствующих собственных функций.
В одном приближении [11] рассматривается применение уравнений (4.41)-и (4.44) для собственных значений k и а соответственно к некоторой ограниченной области в пространстве. Для граничных условий предполагается линейное соотношение, подобное тому, которое представлено уравнением (3.12), устанавливающее связь между групповым потоком нейтронов на границе и его нормальной производной в виде,</> g + bgn-V ф g — 0, где п — нормальный единичный вектор, направленный наружу области, a bg — любая неотрицательная кусочно-непрерывная функция, определенная на границе. Это условие является достаточно общим,чтобы включать любое из граничных условий диффузионного приближения, упомянутых в разд. 3.1.5. Кроме того, предполагается, что поток и ток нейтронов непрерывны на поверхностях, а также, что поток нейтронов ограничен, а вторые производные непрерывны. Некоторые очень слабые условия накладываются также на групповые константы, однако они удовлетворяются в любой потенциально критической системе.
В рамках принятых выше предположений было показано [12], что для уравнения (4.41) будет всегда существовать собственное значение k0, обладающее следующими свойствами: оно действительно, положительно и имеет величину,, большую, чем любое другое собственное значение. Такое значение k0 называется положительным главным собственным значением. Оно представляет очевидный физический интерес,, поскольку случай наибольшего значения k = k0 относится к критической системе, в которой выход нейтронов на одно деление минимален. Кроме того, существует собственная функция, соответствующая k0 (а также сопряженная собственная функция), которая является единственной в своем роде, за исключением нормировки, и неотрицательной всюду внутри ограниченной области пространства. Конечно, из физических соображений полный поток нейтронов должен быть всегда положительным или равным нулю, так что неотрицательность собственной функции является свойством, удовлетворяющим этому требованию.
По-видимому, существуют и другие собственные значения, меньшие по величине, чем k0, для которых соответствующие собственные функции иногда оказываются отрицательными или даже комплексными, но ни одна из этих более высоких гармоник не может быть реализована физически. Хотя эти более высокие гармоники можно найти в явном виде для простых случаев, таких, как одногрупповое приближение в простой геометрии, обычно мало что известно о таких гармониках.
Существование и свойства положительного главного собственного значения k0, а также соответствующей собственной функции обеспечивают прочную математическую основу при изучении задачи на собственное значение k. Рассмотрим теперь задачу на собственное значение а, определяемую уравнением (4.44) с теми же граничными условиями. Было показано [131, что в этом случае существует главное собственное значение а0, которое является действительным и превосходящим по величине действительную часть любого другого собственного значения. Кроме того, было установлено, что соответствующая собственная функция (и соответствующая сопряженная собственная функция) всегда неотрицательна. Таким образом, задача на собственное значение а также имеет под собой прочную математическую основу.
Кроме того, как для гомогенной системы, т. е. системы, в которой все групповые константы не зависят от пространственной переменной, так н для одномерной геометрии, т. е. плоскости, бесконечного цилиндра или сферы, система собственных функций является полной в том смысле, что решение нестационарной краевой задачи можно записать в виде суммы собственных функции, каждая из которых умножается на ехр (ajt), где а} — соответствующее собственное значение а. Коэффициенты разложения можно найти, используя соответствующие гармоники сопряженного уравнения (см. гл. 6). Метод разложения
