Теория ядерных реакторов - Белл Д.
Скачать (прямая ссылка):
у Jg (г) + O0, g(г)фg(г) = S Of0/*'-«(г) фя- (г)+ Q0. в(г); (4.36)
ЛО-т-ЗОі, g(r)Jg(r) = 3 O1, g'-+g(r) Jg' (r), g=l,2, ... ,G. (4-37)-
g'^g
Эту систему уравнений можно решить последовательно, начиная с наиниз-шего значения g. Таким образом, рассмотрим уравнения для g = 1. Источник Qolg известен, и уравнения содержат только неизвестные J1. Чтобы их получить, необходимо решить односкоростную задачу. После того как ф1 и J1 определены, можно рассмотреть уравнения для g = 2. Теперь единственными неизвестными являются фа и J2 и их вновь можно найти, решая односкоростную задачу. Следовательно, в этом простом случае решение многогрупповой задгчи можно найти, решая последовательно систему G односкоростных задач с помощью методов, изложенных в гл. 3.
Описанный выше метод не ограничивается лишь Pj-приближением, и для этой задачи с простым источником с его помощью можно решить многогрупповые уравнения Рдгприближения. В действительности любой из методов, используемых для решения односкоростных задач, можно применять в многогрупповых приближениях.
* На практике граничные условия для простоты часто принимаются не зависящими от номера группы. Например, для свободной поверхности поток нейтронов может полагаться равным нулю на одной и той же экстраполированной границе для каждой группы-
144
4.4. ЗАДАЧИ НА СОБСТВЕННОЕ ЗНАЧЕНИЕ В МНОГОГРУППОВОМ ПРИБЛИЖЕНИИ
4.4.1. РЕАКТИВНОСТЬ
КАК СОБСТВЕННОЕ ЗНАЧЕНИЕ
Изучение критичности обычно приводит к задаче на собственное значение, так как такие задачи связаны с определением реактивности: как собственного значения, т. е. эффективного коэффициента размножения к в стационарном уравнении (1.49), и других представляющих интерес собственных значений. Напомним (см. разд. 1.5.5), что эффективный коэффициент размножения k определяется таким образом, что критичность рассматриваемой системы обеспечивается, если разделить число нейтронов, возникающих при делении, на k.
Если нейтроны деления испускаются изотропно в лабораторной системе координат, то энергетический спектр этих нейтронов можно записать как часть члена OoВ частности,
Oo.g'-g(r) = as0lg'-g(r) + vo,.g.-g(r). (4.38)
Причем VOf ,g'->g</>g' — скорость, с которой нейтроны деления появляются вгруппе^ в результате делений, обусловленных нейтронами группы g'. Сечение CT50, g'-g учитывает все другие переходы из группы g' в группу g\ индекс S. как и раньше, относится к рассеянию, но теперь оно включает вклад и (п, 2/?)-реакций. Таким образом, индекс s эквивалентен символу х Ф /, используемому в разд. 1.1.2. Последний, однако, не применяется здесь, чтобы не делать индексы слишком громоздкими.
С замечаниями, сделанными к уравнению (4.38), многогрупповые уравнения Pj-приближения с реактивностью в качестве собственного значения принимают вид*
V-Jg(r)-f ao,e(r)0*(r) = 2osO>g'-*g(r) tfv(r) +
s'
+ -JФі' (г)', (4.39)'
g'
V Ф 8 (г) + 3ai, g (г) Jg (г) = 3 2 с і, -*а (г) Jg (г). (4.40)-
g'
Эти уравнения отличаются от обычных уравнений Pj-приближения (4.30) и (4.31) тем, что члены, описывающие внешний источник, полагаются в них равными нулю, а нейтроны деления выделены в отдельный член. Кроме того, введено собственное значение k, так что может быть достигнута строгая критичность.
Для многогруппового диффузионного приближения уравнение для собственного значения k, соответствующее уравнению (4.35), имеет вид
-V-Dg(г)у ^g(О+Or0lg(H) Фg(r) =
=2 0*'(г) $s'(г)- (4‘41) g' g'
В разд. 4.4.3 показано, что для этого случая строго доказано существование собственного значения и что обычно достаточно много известно о соответствующей собственной функции.
* Для простоты здесь используется несколько отличный от обычного способ представления суммирования по g'.
145
4.4.2. СОБСТВЕННОЕ ЗНАЧЕНИЕ ИНТЕНСИВНОСТИ РАЗМНОЖЕНИЯ
Задачу на собственное значение (или на критичность) .можно рассматривать в терминах собственных значений интенсивности размножения. Напомним (см. разд. 1.5.3), что собственные функции, соответствующие значениям а, определяются как решения нестационарного уравнения переноса без источников, имеющего вид
— 4- Ф (г, Й, Et t) = — ф (г, Й, Et t).
V at V
Таким образом, в многогрупповом /^-приближении задача на собственное значение а выражается следующим образом:
Ф8 (г) + V- Jg (Г) +O0tg (г) 9Мг) = Уа0.,^,(г) (4-42>
»о.е ^
3—— Sg (г) у ?(1-) + 30!, g (г) J (г) =32^1. в'-в (г) Je'(г), (4.43)
yI. ? mT
к g,
где средние групповые скорости нейтронов определяются в виде
ф (г, Е) dE
I _ _!________________.
vO, g Ф*(г)
(г, ?) dE 1 ____________________
»1. 8 3B (г)
На практике обычно предполагается, что v0tg = vlt g и что обе величины не зависят ст пространственной переменной.
Чтобы получить уравнение для собственного значения а в многогрупповом диффузионном приближении, можно постулировать закон Фика, представляющий собой соотношение между Jg и V ф g\ тогда
Г- 9МГ)—V-?>g(r)V ф (г) + O0lg(г) ф8{г) =
vO-Й
= S Of0 .в'-в (г) фЯ’ (г). (4.44)
