Теория ядерных реакторов - Белл Д.
Скачать (прямая ссылка):
Если бы изменение потока нейтронов и сечений с энергией было точно известно внутри каждой группы, то система многогрупповых уравнений (4.24) была бы такой же точной, как и уравнение переноса. На практике, однако, это не так из-за того, в частности, что при определении групповых констант используются приближенные оценки энергетической зависимости потока нейтронов. Чтобы перейти к дальнейшему обсуждению многогрупповых методов, предположим, что групповые константы известны.
4.3.2. МНОГОГРУППОВЫЕ УРАВНЕНИЯ Рі-ПРИБЛИЖЕНИЯ
Многогрупповое Рдгприближение получается методом, аналогичным тому, который использовался в разд. 4.2.3 для^вывода Р^-при-ближения, если положить
77(9V..t>“о- «“1.2.-о-
В результате уравнение (4.24) приводится к системе связанных односкорос.-ных уравнений, одного для каждой группы, причем связь между ними осуществляется через члены, содержащие сечения Onig-^g. Для фиксированного g соответствующее уравнение в точности эквивалентно уравнению для односкоростной задачи, например, как в разд. 3.1.2, с членами, содержащими Onig-^g для g Ф- g', которые представляют собой анизотропный источник нейтронов в группе g. В этом случае методы, используемые для решения односкоростных уравнений, аналогичны тем, которые были описаны в гл. 3. В данном разделе рассмотрены многогрупповые уравнения Pj-приближения.
Для произвольной геометрии многогрупповое Pj-приближение можно вывести из зависящих от энергии уравнений P1-приближения, аналогичных од-
142
иоскоростным уравнениям (3.50) и (3.51):
V-J (г. Е) + с(г.Е)ф(г, Е) = \оа(г, Е’-+Е) ф (г, E')dE' + Qt(r, ?); (4.28)
V ф (г, Е) + За (г, Е) J (г, Е) =
= 3 J O1 (г, ?'->?) J (г, E') dE' + 3Q1 (г, Е). (4.29)
Если эти уравнения проинтегрировать по энергетическому интервалу в преде-
лах данной группы Eg ^ E ^ Eg^1, то получим:
G
V • Jg (г) + O0rg (г) Фg(r) = CFo.g'-*g(r) 02'(г) + Qo, g(г); (4.30)
g' = I
G
V0g(r) + 3alrg(r)Jg(r) = 3 2 ®i.g'-g(r)Jg'(r) + 3Q,f g(r)T
g' = і
?=1,2.......G. (4.31)
Здесь использованы следующие определения:
ф g = ^ ф (г, Е) dE = ^ Ф (г, й, Е) dQdE;
г г
J? = ^ J (г, ?) dE = ^ й Ф (г, й, Е) dQdE;
g S
Q0. g = 5 Qo (г. Я) dE = jj J Q (г, Й, ?) dfldE;
г г
Q1. ^ § Qi (Г, E)dE = ^QQ(г, Й, Е)dQdE.
g е
Групповые константы определяются таким же образом, как в уравнениях (4.26) и (4.27), но ф0 теперь заменяется 'ф, ^1—J и х—г. Предполагается, что все компоненты J имеют одинаковую энергетическую зависимость внутри группы. Если бы, в более общем случае, эти компоненты имели различные энергетические зависимости, то члены OligJg и Orі, g'-gJg' не обязательно имели бы тс же направления, что Jg и J^. В этих случаях величины O1 можно было бы интерпретировать как тензоры! Такая сложность, однако, представляется неоправданной, если принять во внимание приближенный характер Рі-приблнже-ния и неопределенности, касающиеся энергетических зависимостей потока нейтронов внутри групп.
Если постулируется выполнение закона Фика с учетом энергетической зависимости, т. е.
J(г, E)= — D(г, Е)уф (г, Е), (4.32)
то групповой ток можно получить, интегрируя это уравнение по группе g. В результате имеем
J,(r)--D,(r)v9bt(r). (4.3,3),
где групповой коэффициент диффузии
С этим определением многогрупповое диффузионное уравнение получается подстановкой уравнения (4.33) в (4.30). Таким образом,
G
— у • Ds (г) у Фе (г) + со.*(г)0 (г)= S 0о. (г) фё' (г) + Q0, в(г). (4.35)
g' = і
При выводе многогруппового диффузионного уравнения (4.35) из уравнены» P1-приближения ‘ делались некоторые потенциально неопределенные приближения. В связи с этим обычно решение многогрупповых уравнений /^-приближения оказывается более предпочтительным, чем решение многогрупповых диффузионных уравнений.
4.3.3. ЗАДАЧА С ПРОСТЫМ ИСТОЧНИКОМ
Многогрупповые уравнения Pj-приблнжения (4.30) к (4.31) и многогрупповые диффузионные уравнения (4.35) являются приближениями к стационарному уравнению переноса, следовательно, их можно использовать для приближенного решения любой стационарной задачи переноса нейтронов. Особый интерес представляют два случая: 1) подкритическая система с независимым источником; 2) критическая система.
Для подкритической системы с источником отмеченных выше уравнений вместе с граничными условиями для каждой группы, аналогичными тем, которые были описаны в гл. 3, оказывается достаточно для полного определения задачи*. Они, следовательно, должны определять единственное решение. Это-было строго доказано для многогруппового диффузионного приближения и для голого гомогенного реактора (см. разд. 1.5.4) [9].
Чтобы понять, что используется при получении такого решения, рассмотрим особенно простую задачу, в которой имеется изотропный источник Q0 и в которой нейтроны не могут приобретать (а только теряют) энергию при столкновениях, Т. е. Og'-g = 0, если g' > g. Физически последнее условие было бы применимо, если бы в системе отсутствовал делящийся материал и все тепловые нейтроны рассматривались бы в одной единственной энергетической группе. Предположим, что решение уравнений Pj-приближения ищется для такой задачи. Уравнения (4.30) и (4.31) тогда принимают вид
