Теория ядерных реакторов - Белл Д.
Скачать (прямая ссылка):
Еще один общий метод, в котором й рассматривается не как непрерывная, а как дискретная переменная, обсуждается в гл. 5. Кроме того, иногда очень полезными оказываются численные методы, основанные на решении интегрального вида уравнения переноса; один из них описан в гл. 7 в связи с проблемой термализации нейтронов.
Когда геометрия системы слишком сложна для того, чтобы найти точное решение задачи любым из отмеченных выше методов, часто используются различные комбинации решений, полученных для простой геометрии. В только что рассмотренном примере (см. разд. 3.6.3) поток нейтронов сначала рассчитывался внутри ячейки, а затем ячейка гомогенизировалась для представления потока нейтронов по всему реактору в P1- (или подобном ему) приближении. Полностью отличное от рассмотренного приближение состоит в синтезе двухмерных потоков из решений одномерных задач (см. разд. 6.4.10). Наконец, для изучения сложных геометрий очень плодотворным оказывается метод Монте-Карло.
Другие численные методы использовались для решения некоторых определенных задач переноса нейтронов. Среди них можно отметить метод моментов [33]. который применялся для расчета прохождения нейтронов через гомогенную среду, например, в расчетах защиты, а также метод инвариантного погружения [34], в котором линейная задача переноса нейтронов с граничными условиями на двух концах интервала заменяется нелинейной задачей с условиями на единственной границе. До сих пор, однако, неясно, окажется ли этот метод полезным при решении практических реакторных задач.
5*
131
3.8. ПРИЛОЖЕНИЕ
Чтобы вывести тождества, представленные в табл. 3.1, выразим сначала вектор U в декартовых координатах, т. е.
Q = Q3c х -)-Qy у -)-Qg z• (3.79;
В полярных координатах (см. рис. 1.1)
Qv = sin 0 cos ф;
Qy = sin 0 sin ф;
Q2 = cos 0
и, следовательно,
2л і
JdQ= ( J sin 0 dO гіф.
о —1
Используя эти координаты, можно показать, что
j Qx dQ = J Йу dQ = J Qz dQ = 0;
J Q^dQ = J Q2ydQ =J Q^ dQ = -jj- ;
J Qx Qy dQ = j Qy Qz dQ = J Qx Qz dQ = 0.
С помощью этих соотношений можно^получить результаты, представленные в табл. 3.1.
Упражнения
1. Провести подробный вывод уравнения (3.5).
2. Получить разложение по сферическим гармоникам, аналогичное тому, которое рассмотрено в разд. 3.3.4, и показать, что его можно привести к уравнению (3.44) для P1-приближения.
3. Вывести (подробно) уравнение (3.49) из (3.48).
4. Получить конечно-разностные уравнения для P1- (или диффузионного) приближения в двухмерной (г, z) геометрии [35]. Представить их в матричном виде и доказать, что матрица имеет отмеченные выше свойства.
5. Рассмотреть гипотетическую задачу, в которой ф и s язляются двухкомпонентными
векторами, а матрица А в уравнении (3.60) имеет вид А = ^_^ — ,
где а 1. Решить уравнение (3.60) методом точечной последовательной верхней релаксации, т. е. с помощью уравнения (3.68).
Определить оптимальный параметр ускорения сходимости, to для а = 5/3 [36]. Для какого интервала изменения © этот метод будет лучше, чем метод Либмана, для которого to = 1?
6. При решении конечно-разностных уравнений диффузионного приближения в двухмерной геометрии, например уравнения (3.60), компоненты потока в данном направлении двухмерной системы можно рассматривать в любой момент времени как неизвестные величины и для их получения использовать одномерные методы. Это приближение известно как метод «линейной релаксации». Предложить итерационную схему для решения двухмерных уравнений таким методом. Преимущества этого метода обсуждаются в соответствующей литературе [37].
7. Рассмотреть сферическую область радиусом R, в которой имеется однородный и изотропный источник нейтронов. Предполагается, что нейтронное сечение в этой области пренебрежимо мало. Рассчитать поток нейтронов (в вакууме) в точке г вне сферы. Обсудить связь полученного результата с рассмотрением, проведенным в конце разд. 3.5.1 (особенно в примечании).
8. Рассмотреть решетку реактора, элементарная ячейка которой имеет гексагональное сечение. Провести двухмерный диффузионный расчет потока нейтронов в такой ячейке. Из-за симметрии ячейки достаточно рассмотреть только одну шестую часть шестигранника, т. е. равносторонний треугольник, и предположить, что используется пространственная сетка, элементом которой является равносторонний треугольник. Начать с диффузионного уравнення в (х, «/)-геометрии и получить 7-точечное конечно-разностное уравнение для использования в любой внутренней точке, т. с. на поверхности. Будет ли полученное конечно-разностное уравнение зависеть от выбора направления х? Представить конечно-разностные уравнения в матричном виде и принять некоторые граничные условия для исключения граничных точек. Обсудить свойства матрицы [38].
9. Вывести уравнение (3.74).
132
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
I. Davison В. Neutron Transport Theory, Oxford University Press, 1957, Section 10.3. (Cm. на русском языке: Дэвисон Б. Теория переноса неґітронов. М., Атомиздат, 1960.) Gelbard Е. М. Chap. 4 In: Computing Methods in Reactor Physics, H. Greenspan, C. N. Kelber, and D. Okrent, eds. Gordon and Breach, 1968. (Cm. на русском языке: Вычислительные методы в физике реакторов. Под ред. X. Гринспена, К. Келбера, Д. Окрента. М., Атомиздат, 1972.)
