Теория ядерных реакторов - Белл Д.
Скачать (прямая ссылка):
Состав, приводящий к значению k = 1, определяется с помощью пробных значений. Сначала выбирается первый пробный состав, обозначаемый с<°>, и затем находится соответствующее значение k(0). Обычно пробный состав является неточным, так что &<°> будет отличаться от единицы. Затем выбирается второй пробный состав с(1> и рассчитывается соответствующее значение k(1>. После того как для двух составов с(0> ис*1* определены значения k(0) и &(1), можно получить лучшее приближение для критического состава с(2>, например, предполагая линейное соотношение между k и с. Продолжая этот процесс, можно легко определить требуемый критический состав. Другие собственные значения, такие, как а и критические размеры, часто находят с помощью такого же метода.
4.4.5. КОНЕЧНО-РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ДЛЯ МНОГОГРУППОВОЙ ЗАДАЧИ НА СОБСТВЕННОЕ
ЗНАЧЕНИЕ
Уравнения для любой группы в многогрупповой теории можно записать в точно таком же виде, как и для односкоростной задачи. Рассмотрим, например, уравнения Р1-приближения (4.39) и (4.40) для группы g и для собственного значения k. Если исключить групповой индекс, т. е. использовать символ J вместо Sg и ф вместо ф g, то эти уравнения можно записать 8 виде
V-J (г) 4- O0 (г) ф (г) = Q0 (г); (4.49)
Уф (г) Ч- 3ar (r)J (г) = 3Qr (г), (4.50
где O0, O1, Q0 и Q1 определяются в виде
MO = CFlbg(г) — asn> g_»g (г), п = 0, 1; (4.50
Qo (г)= E OsO1 в'-* в (г) Фе' (0 +
g' -g
+ 4r2v0'-g'_>g(0 фе- (г); (4.52)
k g'
Qi (г)= asi,g'_>g(r)Jg' (г). (4.53)
g'^g
Необходимо отметить, что члены рассеяния, для которых g' = g, перенесены в левую часть уравнений (4.49) и (4.50), причем для определения сечений с»„ (г) используется уравнение (4.51). Член деления с g' = g остается в правой части уравнения (4.49), так как в соответствии с разд. 4.4.4 при расчете ф и J нейтроны деления рассматриваются как известный источник. Следовательно, значения Q., и Q1 можно считать известными в односкоростной задаче, определяемой уравнениями (4.49) и (4.50). Как видно, эти уравнения идентичны уравнениям (3.50) и (3.51) соответственно. Кроме того, а0 будет положительным, гак что односкоростная проблема соответствует задаче о неразмножающей среде н, следовательно, имеет единственное решение.
Уравнения (4.49) и (4.50) можно привести к разностному виду, вводя соответствующую пространственную сетку, н решить их методами, описанными в гл. 3. Обычно одну и ту же пространственную сетку можно использовать для всех энергетических групп.
Хотя здесь в качестве примера рассматривались лишь уравнения P1-приближения, подобные рассмотрения применимы и к более общим разложениям по сферическим гармоникам. В следующем разделе будет более подробно рассмотрен случай диффузионного приближения.
151
4.4.6. АНАЛИЗ МНОГОГРУППОВОЙ ЗАДАЧИ НА СОБСТВЕННОЕ ЗНАЧЕНИЕ В ДИФФУЗИОННОМ ПРИБЛИЖЕНИИ: ВНЕШНИЕ ИТЕРАЦИИ
Система разностных уравнений для многогруппового диффузионного приближения была подвергнута тщательному анализу [19]. Особое-внимание уделялось задаче на собственное значение k, и здесь будут рассмотрены некоторые результаты этого анализа.
Многогрупповое диффузионное уравнение (4.41) для задачи на собственное-значение k можно записать в виде
— V Dg (г) V ф§ (г) + [a0ig (г)— Oso1 g-,g (г)] ф (г) =
= 2 °so, g' -*¦ ц (г) ф g' (г) H (4.54)
g'^g « где vFg (г) представляет собой источник нейтронов деления в группе g и определяется в виде
vFg (г) = Zvoh g. ^g (г) ф g. (г). (4.55)
g'
Предполагается, как обычно, что ф g иDV ф g непрерывны на поверхности и что граничные условия имеют вид
<Мг) + 6(г) п-Уф8(г) = 0,
где Ь (г) — неотрицательная функция, а г — точка на границе (см. разд. 4.4.3).
Для каждой группы нейтронов разностные уравнения могут быть выведены так же, как в гл. 3. В плоской геометрии, например, уравнение (4.54) можно представить следующим образом:
_±[о,(Х)+ C06(X) фі(х) = Q0t Wi (4.56)
которое имеет такой же вид, как и уравнение (3.9), где
O0g (я) = O0ig (х) OsO , g-*- g (%)>
Qog(X)=Z as0. g'-*g(x) ф8' (x) + vFs(x)!k. g'^g
Когда дифференциальное уравнение (4.56) приводится к разностному уравнению, то систему конечно-разностных уравнений можно выразить, как в-уравнениях (3.25) и (3.60), в виде
^g Ф г = sg’ (4-57)
где ф g—вектор, имеющий в качестве компонент значения ф g в счетных точках
х т*\ Ag — известная матрица, как определено в разд. 3.2.3, a Sg — вектор
(см. разд. 3.2.4), т-я компонента которого имеет вид
(sg)m — Am [ 0SO , g' -*¦ g (хт) ф g' (хт) -j- vFg (Xm)/k]. g'^g
Кроме того, из уравнения (4.55) следует, что
vFs(xm)= Фя’ (Xm)-
g'
В более общем случае, например в двухмерной геометрии, вектор источника Sg для группы g может быть записан в виде
Sg= 2 Bg^g фя> +vFg/k, (4,58)
g' ^g
* Чтобы избежать путаницы с собственным значением k, счетные точки здесь обозначаются не Xfl, как в разд. 3.2.1, а хт.
152
где Вg’^g — диагональная матрица с неотрицательными компонентами, а vFg — вектор. В плоской геометрии компонента матрицы Bg-..2 с индексами т, т имеет вид
