Теория ядерных реакторов - Белл Д.
Скачать (прямая ссылка):
Преобразование Фурье применяли для решения зависящих от энергии задач как для бесконечной среды [2], так и для «голого» гомогенного реактора [3]. Эти методы будут здесь обсуждаться очень кратко и главным образом лишь как средства для нахождения групповых сечений (см. разд. 4.5).
4.1.3. НЕЗАВИСИМЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ
Стационарное уравнение переноса содержит три независимых переменных, а именно: направление движения нейтрона й, энергию нейтрона E и пространственную переменную г. Существует несколько возможных методов описания этих переменных. В принятом в настоящей главе приближении зависимость потока нейтронов от й учитывается с помощью разложения потока в ряд по ортогональным полиномам, в то время как две другие перемен-
134
ные представляются в дискретном виде. Интересно рассмотреть и другие приближения, например, те, в которых энергетическая или пространственная зависимость учитывается с помощью разложения в ряд. На практике, однако, установлено, что описанное в этой главе приближение является более гибким, чем отмеченные выше.
Прежде всего интервал изменения угловых переменных строго фиксирован и угловая зависимость нейтронного потока внутри этого интервала в зн ачитель ной мере одинакова в различных задачах. Зависимость же потока от энергии и пространственной переменной совершенно различна, например, в небольшом реакторе на быстрых нейтронах и большом реакторе на тепловых. Тем не менее для ограниченного числа типов реакторов можно аппроксимировать энергетическую зависимость потока несколькими, возможно одним или двумя, членами разложения [4]. Кроме того, для систем с большими (в единицах средней длины свободного пробега) простыми зонами, таких, как голый гомогенный реактор, пространственное распределение нейтронов можно также аппроксимировать одной или двумя гармониками. Именно для таких систем пригодна асимптотическая теория реакторов. Хотя разложение нейтронного потока по простым энергетическим или пространственным функциям может оказаться приемлемым для некоторых специальных случаев, однако этот метод неприменим для изучения большого числа систем, для которых решение можно получить многогрупповым методом сферических гармоник.
Еще один подход состоит в том, чтобы полностью отказаться от использования разложения и считать все переменные, включая й, дискретными, а не непрерывными. Этот подход описан в гл. 5, в которой развиваются метод дискретных ординат и S^-метод. Такие «полностью дискретные» методы также можно использовать для исследования различных представляющих практическую ценность задач.
4.2. УРАВНЕНИЯ МЕТОДА СФЕРИЧЕСКИХ ГАРМОНИК
В ПЛОСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
4.2.1. ВВЕДЕНИЕ
В настоящем разделе рассмотрено развитие многогруппового метода сферических гармоник для зависящих от энергии задач. Поскольку геометрическая зависимость имеет такой же характер, как для односкоростной теории, описанной в гл. 3, большая часть обсуждений связана с плоской геометрией. Однако результаты гл. 3 будут использоваться для получения уравнений в более общей геометрии.
4.2.2. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИИ РАССЕЯНИЯ
Стационарное уравнение переноса в плоской геометрии можно записать в виде
р. — + о (х, E) Ф (х, р,, Е) =
дх
= о (х; E') f (.V, й', й, Е)Ф(х, p.', E')dQ’ dE' +Q(x, p., Е). (4.1)
Предположим, как в разд. 3.1.2, что угловая зависимость функции рассеяния определяется только углом рассеяния р,0 = й • й'. Тогда of можно разложить в ряд по полиномам Лежандра. Таким образом,
о(х, E')f(x\ Й',?'->Й, Е) = о(х, E')f{x\ Е'-^Е, р0) =
OO
= 2 ^ °‘(х; E'-*E)pd\h), (4.2)
I = о
135
где коэффициенты разложения Oi (х\ E' -> E) даются выражением
і
O1(X) Е'-+Е) = 2я J а (*,?') / (х; E' ?, ^0) Л (h>) Фо- (4-3)
-1
Если это разложение подставить в уравнение (4.1), использовать теорему сложения для полиномов Лежандра и проинтегрировать по азимутальным углам (см. разд. 2.6.1), то получим
^"а7 + 0ф== 2 T-pz^S 0^х; е'~*е)х
Х I =0
I
X ^ Ф(х, [х', E') P1(II1)CIii' dE' + Q (х, [г, Е). (4.4)
— і
Прежде чем перейти к дальнейшему изложению, интересно исследовать коэффициенты разложения для некоторых специальных случаев. Если рассеяние нейтронов изотропно в лабораторной системе координат, как это приближенно имеет место для неупругого рассеяния на тяжелых ядрах, а также при делении, то только член а0 отличен от нуля. Для более интересного случая упругого рассеяния (сечение os) на неподвижном ядре массой А, изотропного в системе центра инерции (см. разд. 1.1.2),
а(х, E')f(x\ Е'-+Е, H0) = где, как и в разд. 1.1.2,
-0S eJ ' § (u,Q—S), если аЕ' E ^ Е'\
2л (I —a) ?' (4.5)
О, если Е>Е' или EcaE',
sss^r4 + i)V T ~~ (A~X)V^e]'' esK-4-')/(-4+ W-
Подставляя этот результат в уравнение (4.3), можно записать коэффициенты разложения таким образом:
O1 (х; Е'->Е) =
?/) Pl(S)f если аЕ'
(I —a) ?' " (4.6)
О, если Е>Е' или Е<С.аЕ'.
Отсюда следует, что внутри энергетического интервала, в который может попасть нейтрон с энергией E' в результате упругого рассеяния, имеется бесконечное число значений O1.
