Теория ядерных реакторов - Белл Д.
Скачать (прямая ссылка):
В любом случае основной постулат диффузионного приближения состоит в том, что ток нейтронов J (х, E) определяется произведением коэффициента диффузии на градиент потока:
J(x, E)=-D(x, Е)дф(х'--] . (4.17)
дх
138
Уравнение (4.17), которое описывает закон Фика, используется теперь вместо уравнения (4.16), для того чтобы исключить «/из уравнения (4.15), что приводит к диффузионному уравнению
-JL[D(x,E)d-*(2E)] + o(x,E)<P (*,?) =
= Jja0 (х; E' Е) Ф (х, E') dE' + Q0 (х, Е). (4.18)
Это уравнение широко использовалось в качестве основы для многогрупповых расчетов. В связи с этим интересно более подробно исследовать это уравнение и рассмотреть, как оно связано с уравнениями Ргприближения (4.15) и (4.16), а также каким образом можно разумно выбрать коэффициент диффузии D (х, Е).
Напомним (см. разд. 2.6.2, 3.1.4), что для односкоростной задачи диффузионное приближение эквивалентно Рх-приближению при условии, что источник нейтронов изотропен. Однако для зависящих от энергии задач, описываемых уравнениями типа (4.16), и Q1, и интегральный член (рассеяния) представляют собой анизотропные источники нейтронов с энергией Е. Эквивалентность между Рі-приближением и диффузионным приближением, следовательно, нарушается. Если бы источник и рассеяние были изотропными, то CT1 и Q1 равнялись бы нулю, и тогда уравнение (4.16) было бы эквивалентно закону Фика с коэффициентом диффузии, равным l/(3a (х, E)). Хотя часто достаточно хорошим приближением является предположение об изотропности источника, так что Q1 = 0, однако редко можно принять изотропным и рассеяние. Следовательно, для того чтобы получить простое и разумное выражение для коэффициента диффузии, необходимо аппроксимировать интеграл в уравнении (4.16).
Предположим, что источник изотропен, т. е. Q1 = 0. Тогда уравнения (4.16) н (4.17) были бы одинаковыми при условии, что коэффициент диффузии равен
/ Е E)J E)dE о (х, Е)-------------------------------------
V J (х, Е)
(4.19)
Простое приближение интеграла можно получить, раскладывая его в ряд Тэйлора по летаргии (см. разд. 4.7.4) и оставляя только первый член разложения. Эквивалентный результат можно получить из простого рассуждения о том, что интеграл представляет собой вклад от замедления нейтронов, имеющих
энергии E' > Е. Это почти то же самое, что замедление нейтронов с энергией
E до более низких значений, т. е.
^ O1 (х; E' -> Е) J (х, E') dE' « ^ O1 (х; E -> E') J (х, Е) dE'.
Результат можно записать в виде
^ O1 (х; Е'-+Е) J (х, E') dE' « O0 (х, Е) ц0 (х, Е) J (х, Е), (4.20)
где
O0(XtE)= f а0(л-; E-*E')dE'; (4.21)
пч J O1 (*;?-?') AE' моо,
?) = -7---------------;—г- ( >
J а0 (х; ? -?')'dE'
То, что"ц0 (х> Е) представляет собой средний косинус угла рассеяния, следует из определений O0 и O1 [см. (4.3)1. Если эти значения подставить в уравнение (4.22), то получим
- „ ff цоцо)
|х0 (х, E)=-- - ^--------------------,
Jj / (х; E-E', цо) d\Lо dE'
что является определением среднего косинуса угла рассеяния.
139
Если интеграл в уравнении (4.19) аппроксимировать выражением (4.20), то в результате будем иметь
D (х,Е) = [а (х, Е) — [T0 (х, Е)о0(х, E)]-1. (4.23)
Это выражение для коэффициента диффузии обычно и используется. Практически оно является естественным обобщением уравнения для D (л:) в односкоростной теории (см. разд. 2.6.2).
Таким образом, установлено, что диффузионное приближение представляет собой форму Р^приближения, в котором вклад анизотропного рассеяния при замедлении нейтронов учитывается приближенно.
Во многих случаях это приближение является достаточно хорошим, как будет видно в разд. 4.7, где рассмотрена связь Р^приближения с диффузионновозрастным и другими приближениями. Для тех случаев, когда имеются большие передачи энергии и анизотропное рассеяние нейтронов, например в случае водородсодержащего замедлителя, не следует ожидать, что диффузионное приближение будет удовлетворительным.
4.3. МНОГОГРУППОВЫЕ УРАВНЕНИЯ f-ПРИБЛИЖЕНИЯ
4.3.1. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ГРУППЫ И ГРУППОВЫЕ КОНСТАНТЫ
Зависящие от энергии уравнения Р^-приближения (4.14) представим теперь в многогрупповом виде. Многогрупповая теория не накладывает никаких ограничений на зависящие от энергии сечения, следовательно, эти сечения могут быть очень сложными функциями энергии, что на практике часто и имеет место.
Первая ступень в развитии многогрупповой теории состоит в том, что представляющая интерес энергетическая область, т. е. Емаи^.Е^.Емакс, делится на конечное число G интервалов, разделенных энергиями Eg, гдeg = 1, 2, 3, ..., G, как показано на рис. 4.1. Каждый энергетический интервал называется
¦ мин
¦макс
Группа 0
Группа 2 Группа і
lS-/
Рис. 4.1. Разбиение интервала энергии нейтронов на G групп.
группой и номер группе присваивается по значению g на границе с меньшей энергией. Порядок нумерации групп таков, что при возрастании g энергия уменьшается, т. е. Eg > Eg+i. Следовательно, если нейтрон рождается в результате деления в группе 1, то он может затем в процессе замедления перейти из группы 1 в группу 2, из группы 2 в группу 3 и т. д. или в общем случае из группы g' в группу g, где g > g'. Обычно используемый метод решения многогрупповых уравнений состоит втом, что сначала решаются уравнения для группы 1, затем для группы 2 и т. д.
