Теория ядерных реакторов - Белл Д.
Скачать (прямая ссылка):
L I
(v) = -у 2 (2/ + I )fib (v) J
— і
Pl (Vi1)Pm (И')
1
И'
dp', т = 0,1,2... (2.88)
Таким образом, для L + 1 неизвестных имеется L +1 однородных уравнений. Определитель этой системы должен быть равен нулю, т. е.
Sim-c-(2l+\)f, f ІіЮІнфй. dpi’
I 1——
V
= 0.
(2.89)
где Slm — дельта-символ Кронекера. При с = 1 определитель обращается в. нуль, если V = ±оо, а для с, близкого к единице, V должно быть большим. Поэтому 1/(1—|x'/v) можно разложить в степенной ряд, и определитель примет вид
1 — c(l+ — + .••) /1-(1+- + ...)--/2- (1+— + •••)...
V 3v2 j V \ 5v2 J 3 12 V2 V 7v2 I
-L — (1+ — + ...) I-Z1Cfi+-+...) —/2— (і+ — + ...
З V \ 5v2 / \ 5v2 J З V V 7V2
15 V2 \ 7v2
7v2
21V2
=0.
Из этих же соображений при вычислении определителя можно отбросить слагаемые, в которые входят элементы определителя, удаленные от главной диагонали. Произведение диагональных элементов может быть записано следующим образом: (1—с) П (I —/гс). Все остальные слагаемые порядка І/v2 или меньше
і = I
и поэтому, чтобы определитель обращался в нуль, произведение диагональных элементов должно быть того же порядка. При 1—с<<^1 первый сомножитель (1—с) меньше остальных, так как /г < 1. Поэтому первый член определителя должен быть порядка І/v2, а самые большие члены в определителе, т. е. О (І/v2), получаются при умножении диагональных элементов, кроме первых двух, на минор второго порядка рассматриваемого определителя:
1 —с-
3v§
с
3v0
Vo
I-I1C
= 0,
который должен быть равен нулю, если весь определитель есть нуль. Отсюда следует, что
V0= ...........[!+O(I-C)]. (2.90)
0 /3(1—с) (I-Cfl) к л ^
Когда 1 —с <?С 1, величина в квадратных скобках близка к единице, и результат совпадает с длиной релаксации (2.85), полученной в рамках Ргприближе-ния.
При использовании всего определителя можно получить более точное значение асимптотической длины релаксации. В этом случае появляются дополнительные корни определителя и, следовательно, дополнительные дискретные собственные значения v [49]. Дальнейшее обсуждение асимптотической длины релаксации содержится в работе [50].
83
2.6.4. ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ С ПОМОЩЬЮ РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ
Общий характер решения односкоростного' уравнения переноса с анизотропным рассеянием может быть исследован с помощью уравнения (2.87), если отказаться от предположения, что v—(х не обращается в нуль. В этом случае может быть получено рекуррентное соотношение между различными ^in [51], если уравнение (2.87) умножить на Pm (ц,) и проинтегрировать по от—1 до 1, не разделив предварительно обе стороны этого уравнения на
V — ці
(2/л + I) V (I — cfm) (¦v)—(от + 1) г])т+1 (V)—/т|>т_! (V)=0. (2.91)
Если i])0 (v) нормировано так, что ij)0 (v) = I, уравнения (2.91) принимают вид:
^1(V) = V(I-C); 1]? (v) = ~ V2 (I Cf1) (1 с)-----1- и т. д.
Коль скоро i])m (v) найдены, с помощью уравнения (2.87) может быть представлено решение уравнения переноса:
1Mv. = — У (2/ + !)/,/>, (1-І) 1(1, (V) + >.(V)6(ц —V) (2.92)
2
по аналогии с уравнением (2.26) для случая изотропного рассеяния.
Дискретные собственные значения v уравнения (2.92) можно найти, если результат его интегрирования по |х приравнять единице. Это было пределано для некоторых особых случаев. В работе [52] доказана полнота системы дискретных и непрерывных собственных функций.
Очевидно, с помощью разложения сечения рассеяния по полиномам Лежандра решение односкоростного уравнения переноса для анизотропного рассеяния может быть найдено методом разделения переменных таким же образом, как в случае изотропного рассеяния.
2.7. СООТНОШЕНИЯ ВЗАИМНОСТИ
2.7.1. ВЫВОД ОБЩЕГО СООТНОШЕНИЯ
Поток нейтронов в точке г2 благодаря источнику в точке T1 может быть связан с потоком в точке T1 благодаря источнику в точке г2 с помощью односкоростного уравнения переноса. Такие соотношения взаимности, как их обычно называют, часто используются для нахождения связи решения рассматриваемой задачи с решением более простой или такой, решение которой известно. Единственное предположение при этом, как и в разд. 2.6.1, состоит в том, что функция рассеяния / (г; й' -> й) зависит только от угла рассеяния, т. е. есть функция й • й' = (х0. Вообще говоря, здесь было бы достаточно менее жесткого предположения, что / (г, й' -> й) = / (г, — й -> — й').
В многогрупповых немоноэнергетических задачах существуют подобные соотношения взаимности, но, за исключением случая термализации (см. гл. 7), они включают решения сопряженного уравнения (см. гл. 6).
Рассмотрим перенос нейтронов в среде, ограниченной выпуклой поверхностью. В этом разделе удобно поставить граничные условия, определяющие поток входящих нейтронов, а не отсутствие возвращающихся извне нейтронов, как это было сделано в предыдущих разделах. Пусть для случая a Q1 (г, й) означает источник нейтронов, Фх (г, й) — поток нейтронов; граничные условия заданы Фвх,і (г, й), где г относится к точкам на поверхности, a Q таково, что п • й < 0 (п — единичный вектор в направлении внешней нормали к поверхности (см. разд. 1.1.4)). Аналогично для случая Ь источник, поток и гра-
