Теория ядерных реакторов - Белл Д.
Скачать (прямая ссылка):
84
ничные условия на той же поверхности есть Q2 (г, ft), Ф2 (г, ft) И ФЕХ,2 ДЛЯ п • ft <С 0 соответственно. Предполагается, что поток Фвх задан.
Так как функция рассеяния считается зависящей только от угла рассеяния, / (г; ft' -> ft) может быть заменена / (г, ft • ft'). Поэтому для Фх (г, ft) односкоростное стационарное уравнение переноса (2.3) принимает вид
ft • V Фх (г, ft) + а (T)O1 (г, ft) =
= а (г)с (г) j / (г, ft • ft') O1 (г, ft'Jdft' + Q1 (г, ft), (2.93)
причем Фі (г, ft) = Фвх,і (г, ft), если г находится на внешней поверхности н п • ft С 0. Хотя о, cwf — функции г, эта зависимость не будет в дальнейшем указываться.
Соответствующее уравнение для Ф2 (г, ft) следующее:
ft-уФ2(г, ft) + сФ2(г, ft) = осJ/(ft-ft') Ф2(г, ft')dft' + Q2(г, ft), (2.94)
причем Ф2 (г, ft) = Фвх,2 (г, ft), если г находится на внешней поверхности и л • ft < 0.
Было показано, что источник и граничные условия в уравнениях (2.93) и (2.94) однозначно определяют решения [53], если с (г) < 1. Это утверждение справедливо для любой подкритической системы.
Поменяем знаки ft и ft' з уравнении (2.94) и соответствующих ему граничных условиях. При этом / останется неизменным, а интегрирование по ft' по-прежнему означает интегрирование по всем углам. Тогда уравнение (2.94) примет вид
-Q • УФ2 (г, — ft) + аФ2 (г, — Q) = ас\f (ft • ft') Ф2 (г,—ft') dft' + Q2 (г—ft). (2.95)
Умножим уравнение (2.93) на Ф2 (г, —ft), уравнение (2.95) — на Фх (г, ft), вычтем полученные результаты и разность проинтегрируем по всем углам и по всему рассматриваемому объему. Тогда слагаемые, содержащие о и ос, нсключатся.
Так как ft • УФ = V • (ЙФ), два слагаемых под знаком интеграла, соответствующие первым членам уравнений (2.93) и (2.95), могут быть объединены:
JJ ]Ф2 (г, — ft) ft • уФх (г, ft) + Фх (r, ft) ft • УФ2 (г, — ft)] dVdQ =
= JJ V .йфх (r, ft) Ф2 (r, — ft) dVdQ.
С помощью теоремы Гаусса — Остроградского этот объемный интеграл может быть преобразован к интегралу по поверхности:
J dft J dI/ V • ОФх (г, ft) Ф2 (г, — ft) =
= § dft ^ dA п • ЙФХ (г, ft) Ф2 (г, — ft),
А
где dV — элемент объема, a dA — элемент поверхности, обозначенной А. Таким образом,
JJ п -ЙФХ (г, ft) Ф2 (г, — ft) dQdA =
= JJ [Q1 (г, ft) Ф2 (г, -ft)- Q2 (г, - ft) O1 (г, ft)] dftdl/. (2.96)
85
В левой части уравнения интегрирование по углу может быть осуществлена по двум интервалам: n • Й <; О и п • й ;> 0. Тогда левая часть уравнения (2.96) переписывается следующим образом:
J п • ЙФ^ (г, А) ф2(г, —ii)dQdA-]r n .Q < о
-f- JJ п• ЙФ^ (г, Й) Фз(г, —Q)dQdA.
п;.й>о
В первом из этих интегралов, обозначенном I1, п • й < 0, и Фі на поверхности принимает значение Фвхд> так чт0
I1 =— JJ I пй І Фвх! (г, й)Ф,(г, —Q)dQdA.
п •?>< о
Во втором интеграле I2 после замены й на —й интегрирование распространяется по п • й С 0, и Ф2 на поверхности принимает значение Фвх,г- Тогда
I2= JJ I п-й|Ф1(г, — Й)Фвх>2(г, й)с!й dA.
n. Q < о
Таким образом, уравнение (2.96) принимает вид
^ JJ I n-й І [Фі(г, —Й)Фвх>2(г, Й)—Фвх,і(г, Й)Ф3(г, — Q)]dQdA =
п • Q < О
= JJ [Q1 (г, fl)Oa(r-fl)-Qt(r, й)Ф^ (г, й)] dQ dV. (2.97)
Это выражение есть искомое соотношение взаимности. Представляют интерес несколько специальных форм этого уравнения.
2.7.2. ПРИМЕНЕНИЯ СООТНОШЕНИЯ ВЗАИМНОСТИ
1. Предположим, что в обоих случаях (а и Ь) отсутствуют влетающие нейтроны. Тогда уравнение (2.97) переходит в следующее:
JS Qi (г, й)ф2(г, — Й) СІЙ dl/ = JJ Q2 (г2, — Й)Фх(г, fljdfldl'. (2.98)
Кроме того, в случае а будем рассматривать точечный мононаправлеиный источник в точке T1 с направлением й1( т. е.
Q1 (г, Й) = 6 (г — гх)6 (Й — A1),
а в случае Ь — точечный мононаправлеиный источник в точке г2 с направлением Q2, т. е.
Q2 (г, й) = 6 (г — г2) б (й — й2).
В описанной постановке поток в точке г с направлением й благодаря точечному источнику в случае а представляет собой функцию Грина G (г1( fti-»-r, й); случай Ь отличается символами. Тогда из уравнения (2.98) следует, что
G (г2, й2 T1, — A1) = G (г1г A1 r2, — й2). (2.99)
Это уравнение позволяет сформулировать так называемую теорему взаимности: поток в точке T1 с направлением —A1 за счет единичного источника в точке г2 с направлением й2 равен потоку в точке г2 с направлением — й2 за счет единичного источника в точке T1 с направлением A1. Таким образом, в соответствии с уравнением (2.99) в двух случаях, изображенных на рис. 2.8, потоки совпадают.
86
Если точечные источники изотропны, подобное соотношение существует для полного потока. В случае изотропных источников
и если G (гх -*¦ г2) — полный поток в точке г2 за счет изотропного единичного источника в точке г1( из уравнения (2.98) следует, что G (гх -*¦ r2) = G (г2 -> T1).
2. Предположим снова, что входящие нейтроны отсутствуют; кроме того, пусть рассматриваемый объем разделен на две части (рис. 2.9) IZ1 и V2. Такая ситуация возникает, например, при рассмотрении топливного элемента и замедлителя в гетерогенном реакторе. Здесь представляется возможность рассмотреть общий случай. Пусть Q1 — изотропный источник, испускающий MAnVl нейтрон! [см3-сек) в IZ1HO—в IZ2, a Q2— MAnV2 нейтрон/(см3-сек) иОв IZ2
