Теория ядерных реакторов - Белл Д.
Скачать (прямая ссылка):
[Dy2 ф— оа ф +Q = O,
где V2 — оператор Лапласа. Это есть не что иное, как хорошо известное уравнение диффузионного приближения [19].
Выражение 1/)/"3 (1—с) [см. уравнение (2.63)] можно отождествить с длиной диффузии L ( см. разд. 2.2.2), и, как отмечено выше, коэффициент диффузии равен 1/3. Поэтому уравнение (2.63) может быть записано в виде
г ( 1*1
Iexp ( — —
ф (х) =------і----— ,
т л ’ 2 D
что совпадает с потоком для плоского изотропного источника в бесконечной среде, полученным в рамках диффузионного приближения. В разд. 2.6.2 показано, что эквивалентность P1- и диффузионного приближений имеет место также в случае анизотропного рассеяния. Для задач с немоноэнергетическн-ми нейтронами диффузионное и Р^приближения обычно не совпадают (различие рассмотрено в гл. 4).
В нечетных приближениях высших порядков, т. е. P3, P5 и т. д., при решении уравнения переноса появляется больше слагаемых. Например, в P3-приближении знаменатель подынтегрального выражения в (2.62) содержит ПОЛИНОМ ПО k четвертой степени. В ЭТОМ случае решение Ф о(х) содержит две
экспоненты, если оно записано в функции от |дг|, как в (2.63), или четыре экспо-
70
ненты, если для X > О и для л: <С О написаны отдельные решения. Вообще, решение в Ргл/-1-приближении содержит N экспонент. С увеличением N одна из них становится все лучшим приближением к асимптотическому решению, вто время как остальные аппроксимируют переходное решение [201. Следует отметить, что приближения четного порядка Р2ы имеют только N корней, т. е. СТОЛЬКО же, СКОЛЬКО предшествующее нечётное P2W-I-приближение. Поэтому, а также по другим причинам [21] четные приближения обычно не используются. Однако в некоторых случаях они нашли применение [22]. Длина релаксации l/v0, соответствующая асимптотическому решению односкоростного уравнения переноса в разных приближениях, приведена в табл. 2.3 [23]. Точные значения (см. табл. 2.1) получены с помощью уравнения (2.20). Еще раз можно подчеркнуть, что значения, полученные в Ргприближении, совпадают с диффузионными.
T а б л и ц а 2.3
Асимптотическая длина релаксации в Pw-приближении [23] (в средних длинах свободного пробега)
С Pi Pa P6 Р, Точное решен ие
0,9 1,826 1,903 1,903 1,903 1,903
0,8 1,291 1,405 1,408 1,408 1,408
0,5 0,816 1,011 1,037 1,042 1,044
0 0,577 0,861 0,932 0,960 1,000
Значения коэффициентов Vi (і > 0) для различных Р^-приближений приведены в табл. 2.4. Как и следовало ожидать, для переходной части решения они лежат в интервале O^ Vi ^ 1 и распределены более или менее равномерно по интервалу.
T а б л и ц а 2.4
Значения Vj в переходных членах Рл-приближения [23]
P3 P
с Vi Vi V2 Vi V 2 V3
0,9 0,487 0,806 0,303 0,902 0,619 0,220
0,8 0,466 0,793 0,295 0,895 0,609 0,215
0,5 0,409 0,740 0,271 0,861 0,575 0,202
0 0,340 0,661 0,239 0,797 0,526 0,183
2.5. ОДНОСКОРОСТНОЕ УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА
В КОНЕЧНОЙ СРЕДЕ
2.5.1. ВВЕДЕНИЕ
До сих пор рассматривалась бесконечная среда. Предположим теперь, что вещество не заполняет всего пространства и имеет одну или две плоские границы, т. е. имеет форму полупространства или бесконечно длинной пластины конечной толщины. И в этом случае точное решение уравнения переноса может быть получено либо разделением переменных, либо с помощью преобразования Фурье. Поскольку решение должно удовлетворять граничным условиям только для половины всего диапазона изменения угла, а именно Ф (х, |х) = 0 для |х > 0 или (і<0в зависимости от того, каков знак ja для входящих нейтронов, математически эта задача оказывается более сложной,
71
чем в случае бесконечной среды. Требующиеся для этого математические приемы [24, 25] не приводятся здесь *. Тем не менее характер решения можно понять с помощью функций Грина для бесконечной среды.
Можно думать, что полученные ранее результаты для переноса нейтронов в бесконечной среде имеют весьма ограниченное применение. На самом деле это не так, по крайней мере в том, что касается общего поведения решения уравнения переноса, например, его разделения на асимптотическую и переходную части.
Решение любой задачи переноса нейтронов в однородной среде, ограниченной выпуклой поверхностью, эквивалентно решению для бесконечной среды, в которой заданы соответствующим образом источники, расположенные на границах конечной среды. Это можно показать следующим образом.
S
Задаче 1 Задача Z
(ограниченная среда) (бесконечная среда)
Рис. 2.3. К задаче для ограниченной и бесконечной сред.
Рассмотрим однородную среду, ограниченную выпуклой поверхностью 5. Требуется найти поток внутри;5 при некотором распределении источников и с граничными условиями свободной поверхности (см. разд. 1.1.4) на S. Решение Фх этой задачи 1 эквивалентно внутри S решению Ф2 описанной ниже задачи 2 для бесконечной среды с дополнительным (отрицательным) источником (рис. 2.3), определенным следующим способом. Пусть среда внутри S распространена до бесконечности, а источники внутри S оставлены неизменными. Кроме того, на поверхности S заданы направленные наружу отрицательные источники («псевдоисточннки»), выбранные таким образом, чтобы нейтрализовать направленный наружу ток нейтронов в задаче 1. Асимптотическое решение задачи 2 должно быть выбрано обращающимся в нуль вне S.
