Теория ядерных реакторов - Белл Д.
Скачать (прямая ссылка):
56
где а — полное (макроскопическое) сечение, а оа — сечение поглащения. При используемых обозначениях ст0 = а(1 —с); поэтому, если в качестве единицы длины выбрана средняя длина свободного пробега нейтрона, то
I = -T=L=-. (2.24)
1/3(1 -с) к ’
Видно, что асимптотическая длина релаксации теории переноса близка к значению, получаемому в рамках простого диффузионного приближения только при с, очень близком к единице (или 11 — с I 1), т. е. в слабо поглощающих средах.
Сравнение точного значения длины релаксации [решение уравнения (2.20)], значения, получаемого с помощью (2.23), и обычной длины диффузии (2.24), приведено в табл. 2.1 [6]. Для среды с с<;1 приведено | V01, а с 0 — | iv01. Хотя простая длина диффузии L является хорошим приближением к теории переноса только при |1 — с | с 0,01, одно дополнительное слагаемое в разложении (2.23) обеспечивает результаты, которые согласуются с точным решением уравнения (2.20) по крайней мере до 11 —с\ = 0,2.
Длина релаксации при изотропном рассеянии (в средних длинах свободного пробега)
Таблица 2.1
с< 1 Точное значение [уравнение (2.20)] Второе приближение [уравнение. (2.23)] Диффузионное приближение [уравнение (2.24)] с > 1 T очное значение [уравнение (2.20)] Второе приближение [уравнение (2.23)] Диффузионное приближение [уравнение (2.24)]
0,99 5,797 I V0 I 5,797 5,774 1,01 5,750 M V0I 5,751 5,774
0,98 4,116 4,115 4,083 1,02 4,050 4,052 4,083
0,95 2,635 2,633 2,582 1,05 2,532 2,531 2,582
0,90 1,903 1,899 1,826 1,10 1,757 1,756 1,826
0,80 1,408 1,394 1,291 1,20 1,198 1,195 1,291
0,50 1,044 0,979 0,816 1,50 0,689 0,680 0,816
0 1,000 0,808 0 577
Важно отметить, что для 0 <с< 1 значення I v01 > 1, а для О I V0 — чисто мнимое. Поэтому V0 никогда не лежит в интервале от —1 до 1, что оправдывает деление обеих частей уравнения (2.18) на v0 — jx для получения решения t|)Vo (м-), определенного (2.19).
2.2.3. БЕСКОНЕЧНАЯ СРЕДА.
КОНТИНУУМ СИНГУЛЯРНЫХ РЕШЕНИЙ
Для случая V ф jx было найдено два элементарных асимптотических решения уравнения (2.12), а именно Фо (х, м>) и Фо (х, |х). Теперь найдем дополнительные решения для случая v = jx, причем обе эти величины лежат в интервале от —1 до 1. Выше было показано, что (2.19) представляет собой решение уравнения (2.18) для всех |х в интервале —I ^ |х ^ 1 с v вне этого интервала. Выражение (2.19) представляет собой решение уравнения (2.18) и в том случае, когда v действительно и лежит в интервале —I^v ^l1 но не совпадает с |х. Ho при v = jx решение расходится и нуждается в дальнейшем рассмотрении. Кроме того, такое решение не удовлетворяет условию нормировки (2.17), так как оно было использовано ранее для выбора значений ±v0, которые, как оказалось, лежат вне интервала (—I, 1).
Для определения нормировочного интеграла для сингулярного (переходного) решения надо прежде всего определить, каким образом следует вычислять интеграл от такой функции. Для большей общности можно положить, что
(2.25)
57
где X (v) — произвольная функция. Это выражение является решением уравнения (2.18) для всех V Ф (л; оно также может считаться решением для v = |х, так как дельта-функция Дирака может быть определена таким образом, что хб (х) = 0. Функцию X (v) можно теперь выбрать таким образом, чтобы удовлетворить условие нормировки (2.17). При интегрировании по ц' надо определить, каким образом интегрируется первое расходящееся слагаемое. Различие в возможных подходах связано только с дельта-функцией; при вычислении интеграла используется понятие главного значения интеграла в смысле Коши
где символ P означает главное значение. Чтобы помнить все вре'їія о том, что при интегрировании первого слагаемого в t|)v (ц) имеется в виду главное значение интеграла, к нему добавляется тот же символ:
Произвольная функция X (v) теперь может быть выбрана таким образом, чтобы обеспечить нужную нормировку:
Итак, помимо двух дискретных собственных значений, которые удовлетворяют уравнению (2.20), существует континуум собственных значений (п соответствующие им собственные функции) для всех V, лежащих между —I II 1. Решение уравнения (2.12) для —I ^ |х ^ 1 может быть теперь представлено в виде
где X (v) определено уравнением (2.27). Это решение не определено при v = |а. Тем не менее его можно использовать при интегрировании, поскольку определен способ вычисления интеграла. Это решение можно рассматривать как обобщенную функцию в формальном математическом смысле [8].
Следует отметить, что так как —I ^ v ^ 1, сингулярное решение меняется с х быстрее, чем асимптотическое. Как показано в разд. 2.2.5, это приводит к тому, что на больших расстояниях от источника определяющим является асимптотическое решение. Однако вблизи источника сингулярное решение также существенно; в частности, с его помощью удовлетворяется условие скачка на источнике.
они вместе с Ф± (х, |х) образуют полную систему її удовлетворяют условию ортогональности. Полнота означает, что общее решение уравнения (2.12) может быть записано в виде [9]
