Теория ядерных реакторов - Белл Д.
Скачать (прямая ссылка):
I с—I I 1, простое диффузионное приближение обеспечивает получение достаточно точного асимптотического решения.
В некоторых случаях условие ортогональности (2.32) недостаточно для определения коэффициентов разложения. Это имеет место, когда граничные условия определены только для половины интервала изменений |х. В этом случае требуется иметь условия ортогональности только по половине интервала, т. е. (0,1) или (—1,0) [12].
Метод разделения переменных применялся также для решения нестационарных задач (см. разд. 1.5) [13].
2.2.6. ТОЧЕЧНЫЙ И РАСПРЕДЕЛЕННЫЙ ИСТОЧНИКИ
Поток от точечного изотропного источника в бесконечной среде легко получается с помощью потока от плоского изотропного источника, так как последний можно рассматривать как суперпозицию точечных источников. Если плоский источник считается состоящим из точечных источников, испускающих один нейтрон с единичной поверхности в единицу времени, поток ф (х) на расстоянии х от бесконечного плоского источника (расположенного при а:=0) связан с потоком ф (г) на расстоянии г от точечного источника (рис. 2.1) соотношением
OO OO
ф (х) = 2л J Ф (г) ydy = 2л ^ ф (г) rdr,
о Ui
в котором использовано равенство г2 = х2 + у2.
61
Дифференцируя по х, получаем
ф(г)=~ или с помощью (2.40)
1 <1ф (X)
2л г dx
Ф (г)
_1_
4п г
ехр (—л/vо) vo N о
ехр (—Г/у) VW,?
dv
Это решение содержит асимптотическую часть, спадающую по закону [ехр (—г/V0)]/г, второе слагаемое убывает с г не медленнее, чем [ехр (—г))/г. Таким образом, для изотропного точечного источника на больших расстояниях от него преобладает асимптотическое решение; то же самое справедливо, как будет показано ниже, и для анизотропного источника.
Так как любой распределенный (по поверхности или объему) источник можно рассматривать как суперпозицию точечных источников, принято считать, что поток всегда состоит из двух частей, причем на больших расстояниях от источника асимптотическое решение является преобладающим.
P л с. 2.1. Точечный и распределенный источники.
2.3. РЕШЕНИЕ ОДНОСКОРОСТНОГО УРАВНЕНИЯ
ПЕРЕНОСА МЕТОДОМ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
2.3.1. ВВЕДЕНИЕ
В этом разделе представлен второй метод вывода функции Грина для бесконечной среды. Фактически метод разделения переменных был 'развит позже, чем метод преобразования Фурье, но он изложен в настоящей книге первым, поскольку позволяет яснее продемонстрировать характер решения. Решение односкоростного уравнения переноса с помощью преобразования Фурье представляет интерес не только потому, что оно является еще одним подходом, но также и в силу того, что находит применение при решении некоторых' многогрупповых задач.
Рассмотрим сначала единичный изотропный плоский источник. Затем найденную функцию Грина используем для анизотропного источника. Для простоты будем считать, что источник находится в точке при х = 0, а не х = х0, как раньше.
2.3.2. ИЗОТРОПНЫЙ ИСТОЧНИК В БЕСКОНЕЧНОЙ СРЕДЕ
Для единичного плоского изотропного источника при х = 0в бесконечной среде слагаемое Q (х, ц), описывающее источник, в соответствии с (2.7) равно б (х)/4я. Таким образом, односкоростное уравнение переноса (2.5) имеет вид
Ю +ф ) = _?. f Ф(Х| ^dv,' + JifL, (2.41)
дх 2 J 4п
-I
Изображение F (k, ц) потока Ф (х, ц) определено выражением [14]
CO
F (k,n) = ^ ехр (— \kx) Ф (х, (x) dx. (2.42)
— OO
62
Уравнение (2.41) умножается на exp (—\kx) и интегрируется. С учетом того, что
OO
J
дФ (х, |д)
дх
ехр( — ikx) йх = \іФ(х, |х)ехр( — ikx)
\k\iF(k, |х)
получим
где
Ф (х, (Л,) = О при х = ± OO,
(1 + \(гц) F (k, jx) = с F (k) + — ,
4Я
(2.43)
(2.44)
— і
В предположении, что 1 + i&fx Ф 0, решение уравнения (2.43) следующее:
CF (Л) + 1/4я
F (k, |х) =
(2.45)
1 +І&Ц
Оно может быть проинтегрировано по ц, и разрешено относительно F (k). Результат, подставленный в (2.45), позволяет получить F (k, ц). Так как
і
d\і I , \+ik 1 і ,
r =—:—In ——7- = — arctgtf
if
— i
I + i&fi
2\k
1-ій
действительная величина, то
I
F (к, ц) = -і-(І+ІАц)-*
4л
I—L In I+!*]-1. (2 46)
2\k \—\k\
Поток можно найти теперь с помощью обратного преобразования Фурье:
1 Г ’ • •' ' 1 Г• с . l + m~ldk. (2.47)
, C1 I + ik
1-------In —
2ik l — ik
Полный поток на расстоянии х от источника получается интегрированием по всем направлениям, т. е. умножением на 2я и интегрированием по |х от —1 До 1:
A (X) = -І- ? PiiEiiM In 1±ї*1 Гі —In ІІІЇ1"1 dk. (2.48)
4я J L ik I —i*J L 2i6 1—iftj
2.3.3. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ И ПЕРЕХОДНОЕ РЕШЕНИЯ
Решение для ф (х) [см. (2.48)] с помощью интегрирования но контуру может быть сведено к виду, подобному (2.40), т. е. представлено в виде суммы асимптотического и переходного решений. Путь интегрирования в комплексной плоскости меняется так, как показано на рис. 2.2. Подынтегральное выражение в (2.48) имеет точку ветвления при k = і, так что разрез в комплексной плоскости проводится вдоль мнимой ОСИ ОТ І ДО і OO. Кроме того, подынтегральное выражение имеет простой полюс в точке, где знаменатель обращается в нуль:
