Теория ядерных реакторов - Белл Д.
Скачать (прямая ссылка):
Ф {х, f.i) = ^ Q (х, fx0) G (X0, Jx0 х, jx) dx0 d[i0. (2.11)
Кроме того, функцня Грина для бесконечной среды может быть использована для решения задачи о критичности пластины конечной толщины, т. е. когда граничные условия поставлены при конечных значениях х. Эта возможность обусловлена тем, что решение уравнения переноса для любой ограниченной области совпадает с решением, которое можно было бы получить, если бы эта область была распространена до бесконечности, а на границе ограниченной области был помещен соответствующий источник (или источники) (см. разд. 2.5.1).
2.2. РЕШЕНИЕ ОДНОСКОРОСТНОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА МЕТОДОМ РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ
2.2.1. ВВЕДЕНИЕ
1?! — Метод решения, описанный в этом разделе, развивался
многими авторами [21, но описан наиболее полно Кейзом [31, поэтому его часто называют методом Кейза. В некоторых отношениях он аналогичен методу разделения переменных, обычно используемому для решения дифференциальных уравнений в частных производных. В обоих случаях ищется полная система элементарных решений, а затем такая их комбинация, которая удовлетворя-
54
ла бы граничным условиям или условиям на источнике. Единственное отличие состоит в том, что большинство элементарных решений уравнения переноса сингулярно. Тем не менее они имеют смысл, когда стоят под знаком интеграла.
Используемый здесь подход состоит в нахождении элементарных решений односкоростного уравнения переноса в бесконечной среде без источников. Затем попытаемся найти комбинацию элементарных решений, удовлетворяющую условиям разрыва функции Грина для плоского источника. Такое решение нетрудно найти для бесконечной среды, но в случае ограниченной области вывод становится слишком длинным и нет смысла включать его в эту книгу [4].
2.2.2. БЕСКОНЕЧНАЯ СРЕДА БЕЗ ИСТОЧНИКОВ. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ
Для бесконечной среды без источников и с изотропным рассеянием уравнение (2.5) для плоской геометрии принимает вид
і
дФ(х,{Ц + ф J = _с_ Г ф (л% ^ ^ (2 J2)
дх 2 J
— I
Так как среда не содержит источников, с может быть и больше единицы. Будем искать решение уравнения (2.12) в виде
Ф (х, v) = X (x)ty(ix). (2.13)
Если уравнение (2.12) разделить на fx Ф (х, jx) и подставить выражение
(2.13) для Ф (х, jx) и Ф (х, [х'), то после преобразований получаем
d% (,х) 1 _ с
dx % (*) 2цл|>(ц)
— і
1
JiKmW----------------(2.14)
ф
Левая часть уравнения (2.14) зависит только от х, а правая — от jx, поэтому обе части есть некая константа. Если обозначить ее——, то =
=------—, так что х (х) = const exp ( —— ). Таким образом, решение уравне-
V Vv/
ния- (2.12) должно иметь форму
V (х, jx) = exp ^—^-j^v({x), (2.15)
где v — собственное значение, соответствующее собственной функции t|)v (fx).
Теперь найдем подходящие значения v и функции t|)v (jx). При подстановке
(2.15) в (2.12) получается
і
^l----(м) = -у j tv ((О ф'. (2.16)
—і
Удобно нормировать t|)v так, чтобы
і
^ і|\,ф'=1. (2-17)
—і
Тогда уравнение (2.16) при уфО переходит в
(v—jx) (fx) = -j- v. (2.18)
55
Если предположить на время, ЧТО V ф [Л для всех —1 < [Л< 1, т. е. что
V либо не действительно, либо не лежит в интервале изменений JX, то
фу M = -f • (2-19)
2 V —ц,
Если это выражение подставить в нормировочное соотношение (2.17), то можно определить условия, налагаемые на v, а именно v = ±v0, где ± V0 есть корни уравнения
I = cv0 arcth — = ^ In ^±1. (2.20)
0 V0 2 V0-I
При с<с 1 корни этого уравнения действительные, HO при с> 1—мнимые.
Эти корни были также получены другим способом [5].
Итак, существуют два дискретных собственных значения +V0 и —v0, которые удовлетворяют уравнению (2.16), когда v ф jx. Соответствующая собственная функция определяется уравнением (2.19)
ItfM =-г (2'21)
2 V01Ffi
и два решения уравнения (2.12) есть
Ф*(;с- И>- ехр ( T -?) <ц> - ехр ( T ¦ (2.22)
Ниже будет показано, что, вообще говоря, существуют и другие решения уравнения (2.12), но те, которые описаны уравнением (2.22), являются определяющими на больших расстояниях от источников и границ. Они называются асимптотическими решениями, а Ф0 — асимптотическим потоком. Прежде чем вернуться к уравненшо (2.16), рассмотрим асимптотические (дискретные), собственные значения v0.
При разложении arcth в ряд уравнение (2.20) переходит в следующее:
l = cv ,LL+-L+-L+...1.
L V0 3vg 5vJ J
Последнее может быть переписано в виде
1 3(1—с) 3
Vg с 5vJ
В первом приближении I/V0 « З (1 —с)/с; это значение может быть подставлено во второе слагаемое справа. Тогда
3(1 -с)
При с, близком к единице,
v°= V3(Lc) ['+T0-*0+"']- (2-23)
Очевидно, что, как отмечалось выше, V0 действительно только при с <с 1.
Так как V0 определяет скорость убывания асимптотического потока с расстоянием [см. (2.22)1, назовем ее асимптотической длиной релаксации*. Она связана с диффузионной длиной L обычного диффузионного приближения, определяемой выражением
L-—1 ,
У Заа0
* Величина V0 часто называется асимптотической длиной диффузии, но в настоящей книге термин «длина диффузии» оставлен для диффузионного приближения. Вообще говоря, длина релаксации — расстояние, иа котором лоток убывает в «е» раз.
