Теория ядерных реакторов - Белл Д.
Скачать (прямая ссылка):
Допустим, что все сечения не зависят от энергии. В этом случае в уравнение переноса энергия нейтронов не входит в явном виде, и сделанное допущение в какой-то мере эквивалентно предположению, что все нейтроны имеют одну и ту же энергию (или скорость). Поэтому обычно используется термин односкоростное приближение, хотя можно было бы назвать такой подход приближением постоянных сечений [11.
Если о является функцией только г и не зависит от Е, то
а (г, E) = о (г, E') = о (г).
Угловое распределение нейтронов после столкновения
$/(г;Й',?'-^Й,?) dE
не должно зависеть от энергии E'. Поэтому
J / (г; Й', ?' Й, Е) dE = с (г) / (г; Й' О),
где функция f (г; й' й) нормирована на единицу, т. е.
jj/(r;fl'-»-fl)dfl=l, (2.2)
и в связи с этим с (г) есть среднее число нейтронов, образующихся при столкновении в точке г, как определено уравнением (1.8).
Если полученные выражения подставить в уравнение (2.1), то после интегрирования оно превращается в следующее:
й • уФ (г, й) + о (г) Ф (г, й) =
= а (г) с (г) § / (г; Й' Й) Ф (г, Й') dQ' + Q (г, Й), (2.3)
где
^ Ф (г, й, E)dE = Ф (г, й);
§ Ф (г, й', E') dE' = Ф (г, Й');
JjQ(r,Q,E)dE==Q(r, Й).
Уравнение (2.3), в котором энергия и скорость нейтрона не фигурируют, представляет собой общую форму односкоростного уравнения переноса.
Следует отметить, что указанное выше соответствие между односкоростным уравнением переноса и приближением постоянных сечений не имеет места для общей нестационарной задачи, так как скорость появляется в слагаемом (1/у) (dO/dt) в уравнении переноса (1.14).
2.1.3. БЕСКОНЕЧНАЯ ПЛОСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
В бесконечной плоской геометрии величины Ф, о, f и Q зависят только от одной координаты. В этом случае, как было показано в разд. \.3A,Q'VN=iX'dN/dz или й-УФ=(г*с(Ф/с(г. Кроме того, [х=й-ги jx'=Q'-z,
52
где z — единичный вектор в направлении 2. Поэтому уравнение (2.3) можно записать в виде
ц.аф^,Е> + а(г)Ф(г,ц)=»
OZ
= o{z) с] f (O'- Q)Ф(г, їх')dQ' + Q(г, jx), (2.4)
где си/ приняты не зависящими от координаты.
В настоящей главе показано, что некоторые важные свойства системы зависят только от средней длины свободного пробега нейтрона; поэтому удобно выразить расстояния именно в этих единицах. Пусть
г
X= (z') dz',
о
тогда
а / . д
= О (2) — . дг дх
Предположим далее, что рассеянные нейтроны имеют изотропное распределение. Тогда в соответствии с нормировкой (2.2)
4я
Если dQ заменить теперь 2лф' (см. разд. 1.3.1) и разделить уравнение (2.4) на о (z), то получим
і
Ц + Ф (*. (I) - Y J Ф (*, (I') dfi' -I- Q (*. и), (2.5)
— I
где
Ф(*, (і) = Ф (г (x),ix);
Q (х> M =-^-Q(z(x), Ц).
Это общая форма стационарного уравнения переноса в плоской геометрии.
Для анизотропного плоского источника нейтронов, расположенного при х = X0 и испускающего один нейтрон в секунду с единицы поверхности по образующим конуса с fx = fx0, последнее слагаемое в уравнении (2.5) может быть представлено с помощью 6-функций Дирака (см. Приложение) в виде
Q (х, fx) = 6 (*-¦?•>6 (E-N)j (2.6)
2п
Для изотропного плоского источника
<?(*¦!*)- 6(*-Ч, (2.7)
4я
Решение уравнения (2.5) прежде всего будет найдено для бесконечной среды при условии, что поток нейтронов исчезает при X -> ± оо- Эта задача имеет физический смысл только при с< 1, т. е. в среде, где в среднем на акт рассеяния появляется менее одного нейтрона. При с > 1 нейтроны источника размножались бы бесконечно, так что имеющее физический смысл решение уравнения (2.5) в этом случае отсутствует. Для ограниченной среды действительное
решение при с 1 возможно, хотя получить его трудно. Тем не менее будет
показано, что решение уравнения переноса в бесконечной среде может быть использовано для вывода условий критичности в ограниченной среде при с> 1.
53
2.1.4. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ФУНКЦИИ ГРИНА
Под функцией Грнна понимается решение уравнения (2.5) для простого (т. е. плоского) источника (см. разд. 1.1.6). Для односкоростной задачи она может быть обозначена G(x0, |х0->-л', l-l)> и это есть поток нейтронов в точке л' с направлением ,и, обусловленный источником при х — х0, испускающим 1 нейтрон в секунду (на единицу поверхности в плоском случае) в направлении |х0.
Для бесконечной среды определенная таким образом функция Грина, сокращенно обозначаемая G, есть решение уравнения
+ (2.8) — I
За исключением точки х = х0, fx = jx0, G удовлетворяет однородному уравнению
!*.?2.+ V G(x0, [х0->-*, fx')d[x', (2.9)
дх 2 J
— і
если G-+ 0 при х-+ ± оо.
Для х = X0 и jx = (J.Q (т. е. на источнике) разрыв G может быть получен интегрированием уравнения (2.8) по малому интервалу 2е в окрестности х0, а именно X0 — е < j: < х0 I ?.
В результате интегрирования для анизотропного плоского источника, представленного уравнением (2.6), имеем
G (-«о. !xO хо -М, (х) — G (.V0, .V0-є, |х) = . (2.10)
2n\i
Это условие вместе с решением однородного уравнения (2.9) позволяет, как это показано ниже, сконструировать функцию Грина для плоского источника в бесконечной среде. Коль скоро функция Грина известна, решение для любой бесконечной среды с произвольным источником вида Q (х, |х)/2я может быть представлено в соответствии с (1.21) з в гіде