Теория ядерных реакторов - Белл Д.
Скачать (прямая ссылка):
2.4.2. ПЛОСКИЙ ИЗОТРОПНЫЙ ИСТОЧНИК В БЕСКОНЕЧНОЙ СРЕДЕ
Разложение (2.57) может быть подставлено в уравнение (2.41) для плоского изотропного источника при х = 0. После умножения на 4я имеем:
OO J . / V OO
[A S (2 т+ I)-------Pm(Ji)+ (2m H- \)ф т (х) Рт(\х.)= сф0 (х) + 6 (х).
т= О их т=0
В первом слагаемом слева используется рекуррентное соотношение (см. Приложение):
(2т + I) IiPm (ц) = (от + 1) Рт+1 (ц) + Ot^V1 ((і).
Получившееся выражение умножается на (2ti + I)Рп ([.i) и интегрируется по (д, от —1 до I. В силу ортогональности полиномов Лежандра,
(ti + I) _*ZL±lU -J- ri -j- (2ti + 1)(1 — cS0n) ф n (x) = S0n S (x),
ax ax
n = 0,1,2,..., (2.59)
где <j6_x (*') = O и S0n — символ Кронекера, т. е. S0n= 1, если п = 0, и S0n = 0, если п Ф 0.
Уравнение (2.59) описывает бесконечную систему уравнений относительно неизвестных функций фп (я). Эта система обычно решается следующим образом (см. [16]). Рассмотрим первые N + 1 уравнений системы, т. е. те, для которых п = 0, 1, ..., N. Они включают N + 2 неизвестных, т. е. фп для п = О, 1, ..., N + 1. Число неизвестных может быть сделано равным числу уравнений, если предположить, что
?Фп+iOO_q dx
В этом случае получается так называемое P^ -приближение. Так как
і
фи+ \{х)=2п Jj Ф(д:, |л)Рлч-і (иМи-»
—і
68
a Pn+i (м-) быстро осциллирует для больших N, меняя знак N + 1 раз в интервале— I ^ (х ^ 1, разумно предположить, что фм+\ очень мало для больших N\ поэтому можно ожидать, что -приближение должно обеспечивать точные результаты при больших N.
Ошибку Pyv-приближения можно оценить, если обратить внимание на то, что уравнения Рдгметода были бы точными, если бы в уравнении (2.41) к источнику был добавлен член
N + ld<t>N+l(x) п / ч 4п dx Pn
При п = N он сократился бы с первым слагаемым уравнения (2.59), который полагается равным нулю в Р^-приближении. Ошибка в скалярном потоке</>о, например, могла бы приниматься равной тому слагаемому в ф0, которое обусловлено написанным выше членом [17]. На самом же деле удобнее определять точность Рдг-приближения, сравнивая полученное в рамках этого приближения решение с более точным, описанным, например, ранее в этой главе или полученным каким-либо точным численным методом, рассмотренным в последующих главах .Крометого, изучая зависимость результатов от N, можно оценить точность Рдгприближения. Данные табл. 2.6 и 2.7 служат для иллюстрации такого подхода.
Рдгприближение определяется и другим образом: можно оборвать разложение (2.57) после N + 1 уравнения, т. е. положить ф n = 0 при п > N. Р,у приближение часто вводится именно таким образом, но приведенный здесь подход позволяет лучше понять характер принятых предположений.
При х Ф 0 уравнение (2.59) описывает систему однородных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами. Общее решение системы есть
N
фп(х)=^ 2 Лг?пК-)ехр( — Xlvi), i=0
где значения v; определяются из условия обращения в нуль определителя, составленного из коэффициентов уравнения (2.59) [18]. Коэффициенты при экспонентах можно найти, интегрируя уравнения (2.59) по малой области, включающей х = 0, как это сделано при выводе уравнений (2.37).
Другой подход состоит в применении преобразования Фурье к уравнениям (2.59). Пусть
CO
Fn(k)= J ехр ( ikx) ф п (х) dx. (2.60)
— CO
Уравнение (2.59) умножается на ехр (—ikx) и интегрируется под: от —оо до + оо. В результате получаем
(п + I) ikFn+1 (k) + nikFn^(k) + (2л 4-1)(1 — с80л)Fn (k) = б0л
(« = 0,1,..., N)-, (2.61)
Fn+ і =0.
Система N + 1 алгебраических уравнений может быть решена относительно Fn (k), где п = 0, 1, ..., N. Например, в Р^приближении только
F0 (k) и F1 (k) отличны от нуля. В этом случае XkFl (k) + (I — c)F0 (/г) = 1
и ikF0 (k) + 3F1 (k) = 0, откуда
F0 Ik) =-------------.
ov 1 (1_с)+ 1/362
Применяя обратное преобразование Фурье,
фо(х) = ф (X) = -L ? -HEiiiS—dk. (2.62)
2n_i (l-0.+ -f **
69
Интеграл можно вычислить, интегрируя по контуру, или с помощью элементарных методов:
Ф (*) = -J- ]/" TZ7exp( — /3(1 — С)|*|). (2.63)
Результат Рх-приближения является хорошей аппроксимацией асимптотического решения при 1 —с 1, полученного выше. Это решение не включает, однако, переходную часть, существенную вблизи источников.
2.4.3. ДИФФУЗИОННОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ И ДЛИНА ДИФФУЗИИ
Теперь покажем, что Рх-приближение в данном случае, т. е. для плоского изотропного источника в бесконечной среде, совпадает с диффузионным приближением. В Рі-приближении уравнение (2.59) имеет вид
‘^+(1-с)9М*) = «М (2.64)
ах
Лфр(х)
dx
г ф ^)=0. (2.65)
Так как фг (х) есть ток J (х) в направлении х, а ф0—полный поток, уравнение
(2.65) представляет собой закон Фика, т. е.
ф M = J {к)=(2.66)
причем коэффициент диффузии D = 1/3, а все расстояния выражены в длинах свободного пробега. Подстановка этого значения фх(х) в уравнение (2.64) дает:
__d_
dx
Z>^-^-j + (l—с) ф (x) = S(x).
Так как член (1 — с) эквивалентен макроскопическому сечению поглощения (см. разд. 2.2.2), последнее уравнение может быть записано в общем виде:
