Теория ядерных реакторов - Белл Д.
Скачать (прямая ссылка):
V0
Отсюда следует, что экстраполированный асимптотический поток, т. е. поток, продолженный в левое полупространство, обращается в нуль при х — —х0. Расстояние X0 называют длиной экстраполяции. При |с — 1| -C 1
сх0 = 0,71044 [I + 0,0199 (I — cf + О (1 — с)3],
где последнее слагаемое означает член порядка (1 — с)3, малый при |с—1| С 1. Некоторые точные значения сх0 в функции от с даны в табл. 2.5 [29]. Первые два слагаемых в приведенном выше выражении обеспечивают хорошее приближение при I с — 1| С 1.
Таблица 2.5 Длина экстраполяции для плоской поверхности в задаче
Милна [29]
(в средних длинах свободного пробега)
С сх о Xo с CXa Xt
0,5 0,7207 1,441 1,0 0,7104 0,7104
0,6 0,7155 1.192 1,1 0,7106 0,6460
0,7 0,7127 1,018 1,2 0,7109 0,5924
0,8 0,7113 0,8891 1,3 0,7113 0,5472
0,9 0,7106 0,7896 1,4 0,7118 0,5084
1,5 0,7123 0,4748
Следует отметить, что приведенная здесь длина экстраполяции справедлива только для плоской поверхности. Асимптотический поток ведет себя другим образом вблизи криволинейных поверхностей [30].
2.5.3. КРИТИЧЕСКАЯ ПЛАСТИНА
Предыдущее рассмотрение может быть легко обобщено на случай пластины конечной толщины с c<Z 1 и источниками внутри. Тогда, оказывается, можно получить решение и для с> 1.
Ранее указывалось (см. разд. 1.5.4), что осмысленное решение стационарного уравнения переноса можно получить только для подкритической системы с источником или для критической системы. Бесконечная среда с с > 1 должна быть надкритической, и асимптотические решения, найденные в разд. 2.2.2, имеют V0MHHMoe. Поэтому они комплексные или осциллирующие, т. е. не имеющие физического смысла.
Пластина конечной толщины с с > 1 может быть и подкритической и критической; для нее можно найти физическое решение стационарного уравнения переноса. В настоящем параграфе рассмотрена критическая пластина и показано, что получается хорошая оценка критической толщины, если потребовать, чтобы асимптотический поток обращался в нуль на1 экстраполированной границе.
74
Рассмотрим пластину толщиной а (т. е. внутри пластины 0 х ^ а). Вне пластины находится вакуум, так что на поверхностях пластины выполняются условия
Ф(0, ц.) = Ф(а,— M-) = 0, [1^0. (2.68)
Так же, как и в задаче Милна, может быть сформулирована эквивалентная задача: веществом среды заполняется все пространство и на границах х = 0 и х = а вводятся отрицательные псевдоисточники. Как и прежде, решение имеет асимптотическую и переходную части вблизи границ. Если пластина достаточно толста, т. е. а 1, что имеет место при с—I 1, то решение вблизи каждой границы будет напоминать решение задачи Милна.
Асимптотический поток в общем случае (ср. разд. 2.2.2) есть
флс(х) = A sin
Ivol
-I- В cos
Iv0
Поскольку поток должен быть симметричен относительно X = а/2,
Ф ас(*)
COS
-а/2
Vol
(2.69)
Чтобы голая пластина была критической. Рис. 2.5. К задаче о критиче-нужно, чтобы асимптотический поток обращался ^01°1 пластине,
в нуль на двух экстраполированных границах
х = —X0 и х = а -т X0 (рис. 2.5). Из граничного условия ф ;,с (—л'0) = О и уравнения (2.69) следует, что
-X0-а/2 S V0I
п
2
т. е. для критичности должно быть
(2.70)
Аргумент (с) введен здесь ДЛЯ ТОГО, чтобы подчеркнуть зависимость IV0I от с.
Уравнение (2.70) позволяет оценить критическую полутолщину пластины как функцию с. Так как эта оценка основывается на предположении, что асимптотический поток обращается в нуль на экстраполированных границах (или конечных точках), изложенный здесь подход часто называют методом конечных точек [31], хотя иногда для него используют термин «диффузионная теория» [32]. В этой книге, однако, под диффузионным приближением понимается использование закона Фика с коэффициентом диффузии, вычисляемым с помощью простого выражения (см., например, разд. 2.4.3).
Оказалось что уравнение (2.70) обеспечивает весьма точные результаты, даже если с— 1 велико. В этом можно убедиться с помощью табл. 2.6 [33]. Критическая полутолщина для различных Рлг-приближений также приведена в таблице. «Точные» значения получены при полном решении уравнения переноса с помощью численных методов и вариационной теории (см. разд. 6.4.4). Погрешность в результате, полученном методом конечных точек, составляет только 0,25% для с = 1,4. Достаточно точные данные могут быть получены также с помощью метода разделения переменных [34].
75
Таблица 2.6
Критическая полутолщина бесконечной пластины [33]
(в средних длинах свободного пробега)
С I Метод конечных точек Точное значение Pt Р, Pi і ° і Метод конечных точек Точное значение Pt P. Pb
1,02 1,05 1,10 5,665 3,300 2,113 5,6655 3,3002 2,1134 5,839 3,488 2,309 5,663 3,319 2,135 5,672 3,307 2,121 1,20 1,40 1,60 1,290 0,738 0,515 1,2893 0,7366 0,5120 1,485 0,919 0,680 1,318 0,779 0,559 1,298 0,750 0,530
2.5.4. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ В МЕТОДЕ СФЕРИЧЕСКИХ ГАРМОНИК
Задача о критичности пластины является хорошим тестом для проверки правильности решений односкоростной теории переноса. Уравнения P/^-приближения для конечной среды в плоской геометрии имеют вид (2.59), за исключением того, что правая часть уравнений должна быть положена равной нулю, а на границах наложены соответствующие граничные условия [35].
