Теория ядерных реакторов - Белл Д.
Скачать (прямая ссылка):
где первые два слагаемых — асимптотические решения, а третье — сингулярное; коэффициенты разложения а+ и а_ — константы; A (v) — функция v.
[7]:
(2.26)
X (v) = I — cv arcthv.
(2.27)
2.2.4. ПОЛНОТА И ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ РЕШЕНИЙ
Применимость функций Ф.у (х, [.i) обусловлена тем, что
Ф (х, |Х) = а+ Ф? (х, ц) -j- а_ Фо (х, |х) +
(2.29)
—і
58
Последнее выражение можно представить следующим образом:
<X>(x,H) = a+i|tf Mexp ^—?. ] -f-a_ ^ (ц) ехр +
і
+'J A (v)t|)v(|x)exp ^---“)^v* (2.30)
Условие ортогональности используется для определения коэффициентов разложения при решении конкретных задач; его можно получить с помощью уравнения (2.16). Умножим обе части уравнения (2.16) на i|v (|х):
\ 1 (1 —^ ^v' ^=~2~ ^v' ^ S ^d[i''
Аналогично умножим обе части уравнения (2.16) для t|)V' (м-) на t|)v (ц,):
/ \ 1 (1_^7 Pv' Ы M ^ \ ^v'
Вычитая второе из этих равенств из первого и интегрируя по |х, получаем
-----M^v' = 0‘ (2-31)
Vv v j _1
Следовательно, если v' Ф v, искомое условие ортогональности
і
^ (XiJ)v(|х)t|v (|x)d|x = 0. (2.32)
—і
Величины v, v' могут быть выбраны равными ±v0 или из интервала (—1,1).
Для нахождения коэффициентов разложения а+, а_ и A (v) в уравнении
(2.29) прежде всего необходимо определить нормировочные интегралы. Для асимптотических членов они обозначаются Nq и No и получаются при v = = v' ( = v0) в интеграле уравнения (2.31):
і
—і
Можно показать [10], что с использованием величин i])^ (|х), определенных (2.21),
N±=±— v? Г —-------------(2.33)
0 2 0 LvS-I vgj v ’
Нормировочный интеграл Nv для континуума труднее определить. Тем не менее найдено [10], что
$FjV MiMh) dp = Nv& (v— v'),
где
Arv = v Я2 (v) + —V2j . (2.34)
Эти условия ортогональности использованы в следующем разделе для вывода функций Грина в плоской геометрии.
59
2.2.5. БЕСКОНЕЧНАЯ СРЕДА С ПЛОСКИМ ИСТОЧНИКОМ
Выше было найдено решение (2.29) однородного уравнения (2.12) [или аналогичного ему (2.9)] для бесконечной среды. Теперь можно добавить условия разрыва на плоском источнике при х = X0 и обращения решения в нуль на бесконечности и определить функцию Грина.
Для х Ф 0 функция Грнна G (х0, |х0 х, |х) получается на основании уравнения (2.29):
і
(М-)ехр +Jy4 (v)exp j t|)v(|x)dv для дг>лг0
° (2.35)
и
о
G =—a- t|)0(|x)exp — J /4(v)exp^——°- j t|)v (|x) dv для xcx0.
— і
(2.36)
Здесь в каждом полупространстве оставлены только те экспоненты, которые обращаются в 0 при |л:|->-оо. Связь между коэффициентами разложения а+, а_ и A (v) для плоского источника можно определить с помощью условия разрыва (2.10). Подставляя соответствующие значения G из уравнений (2.35) и (2.36) в уравнение (2.10) с х = .V0 + є для первого слагаемого и х = X0 — є для второго и полагая є 0, получаем
а+ to (fi) + a- (fi) + [A (v) \|)v ([г) dv = 6 ^ |Uo) . (2.37)
J 2пч
2щі
Следующим шагом является использование условий ортогональности для определения коэффициентов разложения. Для этого уравнение (2.37) умножается на (XiJ)v' (|х) и интегрируется по (х. С использованием условий ортогональности и нормировки можно найти, что
„ _ 1 Г ДОг (Ja) 6 (M--M-O) I .,.4,/..4
. а±~ n? J ^ Ы
—і
А (V) =
где N± и Nv те же, что и прежде. Значения г|)± (|х0) и \|)v (|х0) определены уравнениями (2.21) и (2.26) соответственно при |х = |х0. Подстановка этих выражений в (2.35) и (2.36) позволяет определить функции Грина для анизотропного плоского источника в бесконечной среде. Принимая во внимание физический смысл функции Грина, с ее помощью можно написать
, , / X —X0 \
Фо- (Mo) (М-) exp I — —-— J
Ы 4>±v (М-)ехр —
+ J------------------JT-*--------
Mt
X-X0'
vO +
0 ivV
(2.38)
где знак плюс относится к дг> х0, а минус — к дг с X0. Функции t|)±v (jx0) и yp±v (ц) определены уравнением (2.26) для +v или —v. Необходимо отметить, что уравнение (2.38) содержит произведение двух сингулярных функций, и при обращении с ним следует соблюдать некоторую осторожность [11].
60
Для плоского изотропного источника в X0 поток может быть получен усреднением Ф (лг, {.і) по |х0, т. е. интегрированием уравнения (2.38) по |х0 и вычисле-
1
нием J* [ ] d(x0. Тогда с использованием условия нормировки при хп
—і
ф /х „у 1 Г(^) ЄХР [ — (ДС — ДГр)/V0]
* 4я L Wo+
(• I|)v OxHexp [ — (*—*0)/v] I
I -----------------------------------5--dvj , (2.39)
+
0
а для x С X0 можно воспользоваться условием
Ф [(* — X0), ц] = Ф \—(х — х0), —|Х].
Полный поток ф (л:) в случае плоского изотропного источника получается интегрированием (2.39) по всем направлениям, т. е. умножением на 2л и интегрированием по |х:
ф (X)=-L
(-j^),
.TJ- "Г J \г
ехр
dv
(2.40)
Это есть функция Грина для полного потока в случае изотропного плоского источника в бесконечной среде.
При с < I V0 действительно и больше единицы (см. табл. 2.1). Поэтому при увеличении \х — лг0| интеграл в выражении (2.40) убывает быстрее, чем первое слагаемое. Исключением является случай с = 0, т. е. чисто поглощающая среда без рассеяния. В этом случае асимптотическое решение исключается, так как N± оо при с-*- 0. Следовательно, при с Ф 0, когда \х — X01 велико, т. е. на больших расстояниях от источника, определяющим является асимптотическое решение уравнения переноса. Как отмечалось в разд. 2.2.2, когда