Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Белл Д. -> "Теория ядерных реакторов" -> 28

Теория ядерных реакторов - Белл Д.

Белл Д. Теория ядерных реакторов — Москва, 1974. — 494 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyayadernihreaktivov1974.djvu
Предыдущая << 1 .. 22 23 24 25 26 27 < 28 > 29 30 31 32 33 34 .. 264 >> Следующая


где первые два слагаемых — асимптотические решения, а третье — сингулярное; коэффициенты разложения а+ и а_ — константы; A (v) — функция v.

[7]:

(2.26)

X (v) = I — cv arcthv.

(2.27)

2.2.4. ПОЛНОТА И ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ РЕШЕНИЙ

Применимость функций Ф.у (х, [.i) обусловлена тем, что

Ф (х, |Х) = а+ Ф? (х, ц) -j- а_ Фо (х, |х) +

(2.29)

—і

58
Последнее выражение можно представить следующим образом:

<X>(x,H) = a+i|tf Mexp ^—?. ] -f-a_ ^ (ц) ехр +

і

+'J A (v)t|)v(|x)exp ^---“)^v* (2.30)

Условие ортогональности используется для определения коэффициентов разложения при решении конкретных задач; его можно получить с помощью уравнения (2.16). Умножим обе части уравнения (2.16) на i|v (|х):

\ 1 (1 —^ ^v' ^=~2~ ^v' ^ S ^d[i''

Аналогично умножим обе части уравнения (2.16) для t|)V' (м-) на t|)v (ц,):

/ \ 1 (1_^7 Pv' Ы M ^ \ ^v'

Вычитая второе из этих равенств из первого и интегрируя по |х, получаем

-----M^v' = 0‘ (2-31)

Vv v j _1

Следовательно, если v' Ф v, искомое условие ортогональности

і

^ (XiJ)v(|х)t|v (|x)d|x = 0. (2.32)

—і

Величины v, v' могут быть выбраны равными ±v0 или из интервала (—1,1).

Для нахождения коэффициентов разложения а+, а_ и A (v) в уравнении

(2.29) прежде всего необходимо определить нормировочные интегралы. Для асимптотических членов они обозначаются Nq и No и получаются при v = = v' ( = v0) в интеграле уравнения (2.31):

і

—і

Можно показать [10], что с использованием величин i])^ (|х), определенных (2.21),

N±=±— v? Г —-------------(2.33)

0 2 0 LvS-I vgj v ’

Нормировочный интеграл Nv для континуума труднее определить. Тем не менее найдено [10], что

$FjV MiMh) dp = Nv& (v— v'),

где

Arv = v Я2 (v) + —V2j . (2.34)

Эти условия ортогональности использованы в следующем разделе для вывода функций Грина в плоской геометрии.

59
2.2.5. БЕСКОНЕЧНАЯ СРЕДА С ПЛОСКИМ ИСТОЧНИКОМ

Выше было найдено решение (2.29) однородного уравнения (2.12) [или аналогичного ему (2.9)] для бесконечной среды. Теперь можно добавить условия разрыва на плоском источнике при х = X0 и обращения решения в нуль на бесконечности и определить функцию Грина.

Для х Ф 0 функция Грнна G (х0, |х0 х, |х) получается на основании уравнения (2.29):

і

(М-)ехр +Jy4 (v)exp j t|)v(|x)dv для дг>лг0

° (2.35)

и

о

G =—a- t|)0(|x)exp — J /4(v)exp^——°- j t|)v (|x) dv для xcx0.

— і

(2.36)

Здесь в каждом полупространстве оставлены только те экспоненты, которые обращаются в 0 при |л:|->-оо. Связь между коэффициентами разложения а+, а_ и A (v) для плоского источника можно определить с помощью условия разрыва (2.10). Подставляя соответствующие значения G из уравнений (2.35) и (2.36) в уравнение (2.10) с х = .V0 + є для первого слагаемого и х = X0 — є для второго и полагая є 0, получаем

а+ to (fi) + a- (fi) + [A (v) \|)v ([г) dv = 6 ^ |Uo) . (2.37)

J 2пч

2щі

Следующим шагом является использование условий ортогональности для определения коэффициентов разложения. Для этого уравнение (2.37) умножается на (XiJ)v' (|х) и интегрируется по (х. С использованием условий ортогональности и нормировки можно найти, что

„ _ 1 Г ДОг (Ja) 6 (M--M-O) I .,.4,/..4

. а±~ n? J ^ Ы

—і

А (V) =

где N± и Nv те же, что и прежде. Значения г|)± (|х0) и \|)v (|х0) определены уравнениями (2.21) и (2.26) соответственно при |х = |х0. Подстановка этих выражений в (2.35) и (2.36) позволяет определить функции Грина для анизотропного плоского источника в бесконечной среде. Принимая во внимание физический смысл функции Грина, с ее помощью можно написать

, , / X —X0 \

Фо- (Mo) (М-) exp I — —-— J

Ы 4>±v (М-)ехр —

+ J------------------JT-*--------

Mt

X-X0'

vO +

0 ivV

(2.38)

где знак плюс относится к дг> х0, а минус — к дг с X0. Функции t|)±v (jx0) и yp±v (ц) определены уравнением (2.26) для +v или —v. Необходимо отметить, что уравнение (2.38) содержит произведение двух сингулярных функций, и при обращении с ним следует соблюдать некоторую осторожность [11].

60
Для плоского изотропного источника в X0 поток может быть получен усреднением Ф (лг, {.і) по |х0, т. е. интегрированием уравнения (2.38) по |х0 и вычисле-

1

нием J* [ ] d(x0. Тогда с использованием условия нормировки при хп

—і

ф /х „у 1 Г(^) ЄХР [ — (ДС — ДГр)/V0]

* 4я L Wo+

(• I|)v OxHexp [ — (*—*0)/v] I

I -----------------------------------5--dvj , (2.39)

+

0

а для x С X0 можно воспользоваться условием

Ф [(* — X0), ц] = Ф \—(х — х0), —|Х].

Полный поток ф (л:) в случае плоского изотропного источника получается интегрированием (2.39) по всем направлениям, т. е. умножением на 2л и интегрированием по |х:

ф (X)=-L

(-j^),

.TJ- "Г J \г

ехр

dv

(2.40)

Это есть функция Грина для полного потока в случае изотропного плоского источника в бесконечной среде.

При с < I V0 действительно и больше единицы (см. табл. 2.1). Поэтому при увеличении \х — лг0| интеграл в выражении (2.40) убывает быстрее, чем первое слагаемое. Исключением является случай с = 0, т. е. чисто поглощающая среда без рассеяния. В этом случае асимптотическое решение исключается, так как N± оо при с-*- 0. Следовательно, при с Ф 0, когда \х — X01 велико, т. е. на больших расстояниях от источника, определяющим является асимптотическое решение уравнения переноса. Как отмечалось в разд. 2.2.2, когда
Предыдущая << 1 .. 22 23 24 25 26 27 < 28 > 29 30 31 32 33 34 .. 264 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed