Теория ядерных реакторов - Белл Д.
Скачать (прямая ссылка):
(расстояния — в средних длинах свободного пробега)
с
X о 0.2 0,4 0.6 0,8 1 ,0
О О О 0 0 0 1,0
1 О 0,011 0,309 0,667 0,879 1,000
2 О 0,016 0,403 0,780 0,944 1,000
5 О 0,028 0,563 0,908 0,990 1,000
10 о 0,044 , 0,698 0,968 0,999 1,000
20 о 0,068 0,825 0,994 1,000 1,000
изотропного источника в табл. 2.2. [15]. С другой стороны, при с, близком к единице, переходная часть решения становится пренебрежимо малой уже вблизи источника, т. е. ф ас/ф -+¦ 1 при 1.
2.3.4. ПЛОСКИЙ АНИЗОТРОПНЫЙ ИСТОЧНИК
В БЕСКОНЕЧНОЙ СРЕДЕ
Для такого же анизотропного источника, как в уравнении (2.6), но при х = 0 можно воспользоваться изложенным выше ПОДХОДОМ! и вместо уравнения (2.48) для полного потока получим теперь выражение
ф (ї)=І ] [ехР<і&)(1 + і^)'1ІІпТ^][1_^ІПГ^Г1<'А +
—OO
OO
-j-— { exp(і/гх)(1 -f-i^jLL,,)-*1 dk. (2.52)
2я J
—OO
Как и прежде, контур интегрирования в первом интеграле может быть изменен. По-прежнему существует полюс при k = Hv0 и точка ветвления при к = і. Имеется, однако, дополнительный полюс при Дг = i/(X0. Во втором интеграле уравнения (2.52) при х > О и ц0 >0 вклад в полный поток ф (х) в этом полю-
1 / х \
се равен — exp I-------I. Это и есть поток нерассеянных нейтронов, что можно
показать следующим образом.
Поток нерассеянных нейтронов Ф0 (х, ц) от плоского источника должен удовлетворять уравнению (2.5), в котором интеграл, учитывающий вклад рассеянных нейтронов, нужно положить равным нулю, а источник (при х = 0) представить в виде 6 (х)б (ц — {х0)/2л. Тогда
««dii!) +ф (;Єі „) = Є (X) ?(1.-11.) (2 53)
дх 2л
В случае х>0 и (i>0 правая часть этого уравнения есть нуль, и решение имеет вид
Фо(*> ^) = i|>oMexp^-----j
-ю должно удовлетворять
Фо ( + є> ^o)- Фо (—є> =
При X = О и [A = ,U0 оно должно удовлетворять условию разрыва:
2я|л
Поэтому решение уравнения (2.53) для х > О и (х0 > О есть
Фо (х, ^) = V-exP ( M6 ^o)-
2яц0 \ fie /
6G
После интегрирования по всем углам полный поток оказывается равным ф о (х) = 2л С Ф0 (х, \x)d\x = — ехр ( — —) ,
J, Ho \ H-O /
что совпадаете приведенным выше выражением для вклада в поток в полюсе
k — І/|Л0.
Следовательно, решение Ф (х, |х) уравнения (2.5) может быть представлено в виде суммы
Ф (х, ц) = Ф0 (х, [г) + Фх (х, ц), (2.54)
где Ф0 (х, (х) удовлетворяет уравнению (2.53). Подставляя (2.54) в выражение
(2.5) и вычитая уравнение (2.53), получаем уравнение, которому должен удовлетворять поток рассеянных нейтронов:
і і
ц + O1 = JL С фг (х, ц') dp' + 4- Г Ф0 (х, ц') dp1. (2.55)
дх 2 J 2 J
— I -I
Таким образом, видно, что поток рассеянных нейтронов удовлетворяет неоднородному уравнению переноса с изотропным источником, представленным вторым интегралом в уравнении (2.55). Этот источник описывает распределение нейтронов, появляющихся при первом столкновении. Он равен
і
J- Г ф0(х,[г')^, = -^-ехр(—JL),
2 J 4лц0 V Цо J
— I
так как с есть среднее число нейтронов, появляющихся при столкновении.
Соответствующий полный поток рассеянных нейтронов может быть представлен в виде
<i I (X) = с Г G (Xі -*¦ х) ехр (—-—) —х , (2.56)
J \ Ho / 4ЛЦ.0
где G (х' -> х) — функция Грина (2.40) с |х—х'| вместо |х—х0|. Первый интеграл в уравнении (2.52) совпадает с интегралом в (2.56), и поэтому он равен Фі (х) — полному потоку рассеянных нейтронов.
Итак, решение задачи об анизотропном источнике в среде с изотропным рассеянием может быть получено с помощью решения задачи об изотропном источнике. Оказалось, что отдельное рассмотрение нерассеянных и рассеянных нейтронов весьма полезно при решении многих задач переноса нейтронов.
2.4. РЕШЕНИЕ ОДНОСКОРОСТНОГО УРАВНЕНИЯ
ПЕРЕНОСА МЕТОДОМ СФЕРИЧЕСКИХ ГАРМОНИК
2.4.1. ВВЕДЕНИЕ
В настоящем разделе рассмотрена с помощью метода сферических гармоник задача о плоском изотропном источнике в бесконечной среде, В рамках этого метода угловая зависимость потока учитывается с помощью разложения в ряд по полной системе элементарных функций. В общем случае естественным выбором являются сферические гармоники, HO для плоской и сферической геометрий они сводятся к полиномам Лежандра.
В плоской геометрии, когда Ф зависит только от х и (х, поток можно разложить в ряд по полиномам Лежандра с коэффициентами, зависящими от х:
ф (*, ц) = V ф w P (ц), (2.57)
Аяя» 4д
т= 0
67
где Pm (|л) — полиномы Лежандра (см. Приложение), а ф т (х)— коэффициенты разложения. В силу ортогональности последние представляются в виде
- 1 Ф тп (X) = ) ф (X, ц) Pm (ц) dQ = 2я J Ф (х, и) Pm (Ji) ф. (2.58)
—і
Одно из преимуществ разложения в ряд по полиномам Лежандра состоит в том, что, по крайней мере, первые два члена разложения имеют простой физический смысл. При от = 0, например, значение P0 (|х) есть 1, поэтому из уравнения (2.58) следует, что</>о W — просто полный поток в точке х. При т = 1 P1 (|х) есть (х, и из уравнения (2.58)
і
фі(х) = 2я ^ |лФ (х, jx) ф,
—і
что представляет собой ток J (я) в точке х в направлении ,и. Хотя в большинстве случаев другие разложения по ортогональным полиномам не имеют такого явного физического смысла, как в случае полиномов Лежандра, иногда предпочтительнее их использовать, например, для более простого обеспечения выполнения граничных условий (см. гл. 3).
