Теория ядерных реакторов - Белл Д.
Скачать (прямая ссылка):
Фас (*. И) = ехр (=F*/v0)/l|>± (и).
Интегрируя это уравнение по ц и используя условие нормировки (2.17), получаем уравнение для асимптотической части полного потока:
Ф ас (X) = ЄХР (=F*/'V0).
Легко видеть, что ф ас (х) — решение простого дифференциального уравнения
Рис. 2.7. Примыкающие полупространства с источником на бесконечности.
d2 Ф ас (X) 1
dxz
Г Ф ас W = O-
Vo2
В бесконечной среде нет необходимости выбирать положительное направление х, так что асимптотический поток должен удовлетворять общему уравнению
=«=о.
Используя известные решения этого уравнения с точными V0 вместе с граничными условиями, выведенными изложенным выше способом, получаем разновидность диффузионного приближения [44]. Хотя оно дает достаточно точные результаты, его обобщение на случай многих групп не может быть сразу полечено, и поэтому этот подход почти не используется в книге.
2.5.6. СФЕРИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Многие задачи плоской геометрии имеют свои аналоги в сферической геометрии, где также могут быть найдены точные решения. Например, в разд. 1.3.3 было показано, что решение г ф уравнения переноса для сферы радиусом а связано с решением ф для пластины с полутолщиной а. Так как гф для сферы должно быть нечетной функцией г (см. разд. 1.3.3), выражение для асимптотического потока для сферы без источников имеет вид
Г Ф ас (г) = A Sin-Lг .
I V0 I
Подобно критической пластине (см. разд. 2.5.3) сферу можно считать приблизит' іьно критической, если ее радиус а выбран так, что ф ае обращается в нуль ка экстраполированном радиусе, т. е. ф (а + х0) = 0. Тогда
а = л j V0 (с)| — х0. (2.75;
Ниже показано, что длина экстраполяции здесь та же, что и в плоском случае; линейная длина экстраполяции, однако, отличается.
Значения критического радиуса, определенные с помощью уравнения (2.75), приведены в табл. 2.7 вместе с точными результатами и значениями в
78
Таблица 2.7
Критический радиус сферы [45]
(в средних длинах свободного пробега)
С Метод конечных точек Точное значение Р, Р, Pi с Метод конечных точек Точное значение Pt Р, Pt
1,02 1.05 1.10 12,027 7,277 4,873 12,0270 7,2772 4,8727 12,252 7,543 5,177 12,045 7,296 4,895 12,034 7,284 4,880 1,20 1,40 1,60 3,172 1,985 1,476 3,1720 1,9854 1,4761 3,513 2,353 1,850 3,204 2.039 1,550 3,181 1,999 1,497
P1-, Р3-и Р5-приближениях с граничными условиями Марка [45]. По-прежнему согласие точных результатов с полученными методом конечных точек- очень хорошее. В разд. 3.3.1 Рдг-приближение применяется для сферической геометрии.
. Метод разделения переменных также применяется в случае сферической геометрии [461. При этом можно получить некоторые усовершенствования уравнения (2.75) [47].
В заключение следует напомнить, что соответствие между пластиной и сферой имеет место для постоянного сечения, не зависящего от координаты (см. разд. 1.3.3).
2.6. АНИЗОТРОПНОЕ РАССЕЯНИЕ
2.6.1. ПЛОСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ.
МЕТОД СФЕРИЧЕСКИХ ГАРМОНИК
Во встречающихся на практике многогрупповых задачах рассеяние, как правило, анизотропно, поэтому необходимо изучить влияние такого рассеяния на решение уравнения переноса. Как и прежде, рассмотрим плоскую геометрию, хотя во многих отношениях сферическая геометрия также проста.
В плоской геометрии с анизотропным рассеянием односкоростное уравнение переноса (2.5) имеет вид
дх
2л I
= C^dq' Jj / (fl' Й) Ф (*, (I') dll' + Q (х, ц). (2.76)
о —I
і
Здесь предполагается, что поток Ф (х, (х) и источники Q (х, |х) не зависят от азимутального угла ф. За исключением некоторых особых случаев (например, движущаяся среда или монокристалл), / (й' й) является функцией только Q • й' = ц (см. разд. 1.1.2), где Q1 и Q — направления движения нейтрона до и после столкновения соответственно. Следовательно, / (й' й)
можно разложить в ряд по полиномам Лежандра, т. е.
= <2J7)
/=0
В силу ортогональности полиномов
і
/, = 2я ^ f fa) Pi(Po) dfi0- (2.78)
79
Условие нормировки есть
1
[о = 2л J f (м-0) d\i0 = 1.
—і
Как указывалось в разд. 1.6.3, первый член разложения (изотропное рассеяние) является основным, за исключением рассеяния на легких ядрах и нейтронов высокой энергии.
По теореме сложения полиномов Лежандра (см. Приложение)
Р,Ы=Р|ИР|М+2 У !'Tm!'; РГМР"(Ц')с05т(ф-ф-),
Л (/+я)!
где (х и |х' — косинусы соответствующих углов; ф и ф' — азимутальные углы, определяющие направления QhQ' соответственно, a PrP (ц) — присоединенные полиномы Лежандра (см. Приложение).
После подстановки этого выражения в уравнение (2.77), а результата в уравнение (2.76) слагаемые, содержащие cos т (ф—ф'), пропадают при интегрировании по ф'. Тогда
OO
H **&¦?> + ф (г, ц)=-?- 2) (2< + I) f, Р, (Ю X
Х ~ L--= О
I
X J Ф(*,[i')Pl(Iir)d\i' JrQ(x, ^). (2.79)
— і
Поток Ф и источники Q также раскладываются в ряд по полиномам Лежандра:
ф 2 *т {х) РтМ- (2 80)
т=о
как и в уравнении (2.57), и
Q <*. (i) = 2 TT Qm w Рт (ц)- (2'81!
т=О
где в силу ортогональности полиномов
