Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Белл Д. -> "Теория ядерных реакторов" -> 34

Теория ядерных реакторов - Белл Д.

Белл Д. Теория ядерных реакторов — Москва, 1974. — 494 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyayadernihreaktivov1974.djvu
Предыдущая << 1 .. 28 29 30 31 32 33 < 34 > 35 36 37 38 39 40 .. 264 >> Следующая


Хотя существует формализованное доказательство этой теоремы [26], приведенное ниже простое рассмотрение вполне убедительно. В задаче 1 ток нейтронов наружу через элемент поверхности dA есть n-ЙФ! (г, Q)dA для п • й > 0. Эта величина есть число нейтронов, пересекающих dA в единицу времени в единичном телесном угле около й. Теперь предположим, что на поверхности S наложен такой отрицательный псевдоисточник, что наружу через поверхность S не вылетает ни одного нейтрона. Так как в этом псевдоисточнике все нейтроны направлены наружу, он вообще не воздействует на поток Фх внутри S. Интенсивность такого источника должна быть — п • ЙФХ (г, й). Он представляет собой отрицательный псевдоисточник, т. е. источник отрицательного числа нейтронов, вылетающих наружу. Таким образом, наружу теперь не вылетают нейтроны. Поэтому пространство вне S может быть заполнено тем же веществом, что и внутри S, в результате чего образуется бесконечная среда; при этом решение внутри S останется тем же, так как в силу отсутствия потока вне S в рассматриваемую область нейтроны извне по-прежнему

* Эти методы не описаны, так как они не применяются для решения практических задач, и потому, что их изложение было бы длинным и потребовало бы обширных знаний в области теории функций комплексного переменного. Кроме того, заинтересованный читатель найдет все необходимое в цитируемой литературе.

72
не попадают. Таким образом, решение Ф2 задачи 2 эквивалентно внутри S решению Фх задачи 1.

В случае ограниченной среды в бесконечной плоской геометрии влияние границы может быть изучено с помощью функций Грина для бесконечной среды (см. разд. 2.5.2). Поскольку граница выступает в качестве источника в бесконечной среде, следует ожидать, что она дает вклад как в асимптотическую, так и в переходную часть решения для конечной среды. Оказывается, это справедливо не только для плоской геометрии. Раньше было показано, что для любого точечного или распределенного источника, изотропного или анизотропного, решение состоит из асимптотической и переходной частей, причем первое является определяющим на больших расстояниях от источников.

Общий вывод, который можно сделать на основании предыдущего рассмотрения, состоит в том, что для среды, ограниченной поверхностью, на которой заданы свободные граничные условия, независимо от геометрии, асимптотическое решение является доминирующим на больших расстояниях и от границы, и от источников.

' Некоторые из полученных результатов будут применены для решения задач в ограниченной среде для бесконечной плоской геометрии.

2.5.2. ЗАДАЧА МИЛНА

Задача Милна является классической в астрофизике и связана с прохождением излучения через атмосферу звезд [27]. Однако общие принципы применимы и к диффузии нейтронов бесконечно удаленного источника (*-> оо) через полупространство (х > 0). При х < 0 (левое полупространство) имеется вакуум (рис. 2.4) и на границе (х = 0) наложены соответствующие граничные условия: Ф (0, (.i) = 0 для jx > 0. Требуется определить угловое распределение нейтронов, пересекающих границу, т. е. Ф (0, (а) для jut < 0.

В соответствии с изложенным выше общим подходом вакуум в левом полупространстве может быть заменен веществом правого полупространства с одновременным введением на границе отрицательных псевдоисточников, направленных в сторону отрицательных х. Если поток Ф(0, jx), отличный от нуля только при ц, < 0, есть решение задачи Милна, то искомый псевдоисточник при X = 0 есть Ф(0, ц); он отрицателен, поскольку рассматривается только для |х 0. Таким образом, задача Милна, т. е. задача о полупространстве с источниками на бесконечности, при х > 0 эквивалентна задаче о бесконечной среде с источником при х = оо и отрицательным псевдоисточником при х = 0. Хотя это утверждение еще не решает задачу, так как Ф (0, (а) при jx с 0 по-прежнему предстоит найти, оно позволяет определить характер решения.

В представляющей интерес области бесконечно удаленный источник вносит вклад в поток, определяемый асимптотическим членом, который может быть нормирован так, что этот вклад составит exp (x/v0) • г|;о ((а). Вклад источника на поверхности может быть выражен с помощью функции Грина для бесконечной среды (2.38). Тогда суммарный поток есть

Ф (х, jx) = exp (M +

о

+ J G (О, (X0(A)H0 Ф (0, ^0) ^Mo-

— і

Вводя значение функции Грина, можно показать, что поверхностный псевдоисточник обусловливает асимптотическое слагаемое, содержащее множитель

Вакуум

х<0

у/уу-.уу/^-

УрЧа Ш;Ы„°атт.^

¦’ х>о-'УУ, оесконечности ' '/у///Y////, У, '////у

'^/yyy/Z/fy/'/, у/ї,

х=0

Рис. 2.4. Полубесконечная среда с источником на бесконечности.

73
P (—x!v0), и переходное слагаемое, убывающее быстрее, чем ехр (—х) с удалением от поверхности. Что касается асимптотического решения, необходимо только определить нормировку.

Анализ показывает [28], что два асимптотических экспоненциальных члена, от источника на бесконечности и поверхностного псевдоисточника, могут быть представлены в виде

^ac W = /(С, V0Jsh ^±?2. (2.67)
Предыдущая << 1 .. 28 29 30 31 32 33 < 34 > 35 36 37 38 39 40 .. 264 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed