Теория ядерных реакторов - Белл Д.
Скачать (прямая ссылка):
Цилиндрическая система координат
2
А
1J
Рис. 1.15. Прямоугольная система коор динат.
Рис. 1.16. Цилиндрическая система координат.
46
Сферическая система координат
Координаты точки: г, 0, ф.
Направление Q: ,и, ©, где 0 — полярный угол; ср — азимутальный угол; jx = Ii - г; ©—угол между плоскостями, образованными векторами Q и г и векторами гиг (рис. 1.17).
Величины Q V Ф и JdQ для различных геометрий представлены в табл. 1.1. Как указывалось в разд. 1.3, выражение для Q-VN можно получить простой заменой Ф на N.
Иногда используются другие обозначения (см., например, работу [40]).
Ниже приводятся выражения для Q • УФ в дивергентной форме для цилиндрической и сферической систем координат.
Цилиндрическая система координат
Vr=i
-ц2 cos % ^ (лф)
V1 —^x2 sin % дФ
дг
<?<р
і d (ф \—(X2Sinx) дФ г dX dz
Рис. 1.17. Сферическая система координат.
Таблица 1.1
Некоторые полезные выражения для различных геометрий
Геометрия Поток Q-уФ f d Q
Плоская Ф (дс; м) dФ Р дх I 2 л J dp. —і
Прямоугольная Ф (-V, t/,z; |.i,x) / I дФ дф\ дФ Vl-^ (cos х —х + sin X-ft І 2л JdlIJdX — I 0
Сферическая (сферическая симметрия) Ф(г; jx) дф 1— ц2 <ЭФ ^ dr + г d>x I 2л J dfx — I
Сферическая (общий случай) Ф (г,0,ф;(х,©) дФ J^l—jx2 sin © ^ф "|/1 — и,2 дФ V-dr+ г SinBdV+ г "с05(і>дЄ + 1— 1Х2<ЭФ Vl-IX2 дФ + г B1X г smwcigO а© I 2л J dfx J d© — I 0
Цилиндрическая (бесконечный цилиндр, осевая симметрия) Ф(г; jx, X) -./ „ ^Ф I/»—H2 . дФ 1/1— M-2 cosx дг — -r smXdx I 2л J d,x Jdx — I 0
Цилиндрическая (общий случай) ф(г,ф,г,}х,х) ,/. о дФ . V I-H2 . /дФ Vl-^cosx-^ + -r smx - йФ\ дФ ~ ^X j dz I 2л J діх I д%
47
Сферическая система координат
fx д (г-Ф) Y1 —р,2 sinco дФ ~|/l —COsco д (Ф sin 8)
г2 dr г sin 0 дф г sin 0 <?0
J_ а [(I — jxa) Ф] ctg 0 д(ф/ I -H2Sinto) г d]i г дй)
Преимущества такого представления могут быть продемонстрированы при рассмотрении выражения Q-УФ в сферической системе координат. Интегрирование по всем на-
1 2л
правлениям ?ї, т. е. j dц \ da>, устраняет два последних члена, в то время как первые три
— і 'о
представляют собой компоненты V-J. Если эти три слагаемых проинтегрировать по объему (dV = г3 sin0d0d(p), ограниченному поверхностями с постоянными г, <р и 0, то первый член, очевидно, будет описывать направленный наружу ток через поверхность с постоянным г. Аналогично второе и третье слагаемые есть токи через поверхности с постоянными ф и 0 соответственно.
Упражнения
1. Рассмотрим коллимированный пучок нейтронов в направлении оси z, причем площадку единичной поверхности, перпендикулярно к оси Z1 пересекает 1 нейтрон в 1 сек. Пусть в этот пучок нейтронов помещается сфера единичного радиуса. Определить радиальную и прочие компоненты тока нейтронов через поверхность сферы как функцию положения точки на сферической поверхности, используя сферическую систему координат с началом в центре сферы. Определить угловое распределение пересекающих поверхность сферы нейтронов, усредненное по поверхности сферы.
2. Очень тонкий (толщина Ал) плоский источник моноэнергетических нейтронов испускает нзотропно Ї / А л: нейтрон/(см2 ¦ сек) на единицу объема источника. Определить угловое распределение тока (и потока) на поверхности источника, пренебрегая поглощением в нем.
3. Чисто поглощающая среда с а = 1 заполняет полупространство с источниками
1 иейтрон!(см3 ¦ сек). Определить угловое распределение тока и потока на граничной поверхности.
4. Пусть в вакууме или в чисто поглощающей среде находятся два одинаковых точечных источника. Определить в каждом случае ток и поток нейтронов в пространстве и нарисовать кривые равных токов и равных потоков.
5. Получить уравнение переноса, рассматривая баланс нейтронов в фиксированном элементе объема, т. е. с помощью метода, приведенного в конце разд. 1.1.3.
6. Найти собственные значения а и А для пластины толщиной d в рамках односкоростного диффузионного приближения, используя уравнение
1 дф ЭгФ
— — =?>-—г + |(v— I) Of-оа\ Ф,
V Ot дх-
при условии, что полный поток обращается в нуль на поверхности пластины. Изобразить графически связь между собственными значениями. Для сравнения с результатами транспортного приближения см. работу [41]. Указание: каждой собственной функции
cos (nnx)ld соответствует по одному собственному значению а и А.
7. Описать перенос нейтронов в реакторе, теплоноситель в одной из зон которого движется с высокой скоростью V в направлении оси z. Какова угловая зависимость а движущихся ядер в уравнении переноса, если сечение не зависит от энергии нейтрона при покоящемся ядре (см. разд. 7.3)? Рассмотреть качественно угловое распределение рассеянных нейтронов, если рассеяние на покоящемся ядре изотропно в лабораторной системе (см. [42]).
8. Вывести интегральное уравнение (1.37) для плоской геометрии и изотропного рассеяния на основании уравнения переноса в плоской геометрии с граничными условиями свободной поверхности. Указание: начать с умножения уравнения переноса на ехр (*/ц) и интегрирования по х от границы пластины.