Теория ядерных реакторов - Белл Д.
Скачать (прямая ссылка):
о (s). Тогда вероятность того, что нейтрон испытает столкновение между s и s + ds, равна
р (s) ds = o (s) exp
ds.
Если третье случайное число I3 выбрано, s можно определить из уравнения
S
Ing3= — ^o(s')ds'.
о
Отсюда следует, что
d|3 = —o(s)dsex р
— (s') ds'
(1.56)
и так как
р (s) ds = p (I3) d|3 =-- d|3,
то значение s выбрано так, что оно обеспечивает правильное распределение р (s). Знак минус в уравнении (1.56) появляется потому, что s уменьшается с увеличением I3, и это не влияет на вероятность того, что значение находится в любом заданном интервале.
Последующие случайные числа должны быть использованы для определения результата первого столкновения, места второго столкновения и т. д. Эта процедура продолжается до тех пор, пока история нейтрона не заканчивает* ся, например, утечкой из системы или поглощением.
При решении уравнения переноса методом Монте-Карло возникающие неточности связаны не с погрешностями метода, как это имеет место в многогрупповых приближениях, а с ограниченным числом рассматриваемых историй нейтронов. Такого рода ошибки носят в большей или меньшей степени случайный характер. Разработаны методы, позволяющие свести к минимуму эти ошибки при данном объеме вычислительных работ.
Некоторые из методов подсказаны здравым смыслом, в то время как другие являются результатом соответствующего математического анализа. Ниже приведены два примера. Случайно может оказаться при рассмотрении истории замедляющегося нейтрона, что он поглощается уже в первом столкновении. Вместо того, чтобы прекратить рассмотрение, обычно имеет смысл продолжить его, но приписать этому нейтрону меньший вес, пропорциональный вероятности рассеяния при этом столкновении. В результате история нейтрона может быть прослежена до тех пор, пока приписанный ему таким образом вес не станет слишком малым или пока нейтрон не покинет систему.
Другой пример использования здравого смысла связан с решением двух близких, но не тождественных задач. Так как ошибки в методе Монте-Карло носят случайный характер, решения этих задач могут быть совершенно различны. При сравнении таких решений разница между ними может быть сделана более точной, если использовать истории одних и тех же нейтронов в обеих задачах, так как в этом случае случайные ошибки примерно совпадают.
Предположим, например, что требуется вычислить вероятность избежать резонансного поглощения нейтронов, замедляющихся в решетке, с целью определить изменение параметров системы с температурой, связанных с доплеров-ским уширением. При двух независимых расчетах методом Монте-Карло случайные ошибки могут быть столь велики, что они совершенно маскируют разницу между решениями. В случае же использования одних и тех же историй нейтронов разница в результатах может дать полезную информацию.
Более сложный подход может быть использован для определения вклада нейтронов источника в показания детектора. Очевидно, что некоторые из этих нейтронов, в частности те из них, которые вылетают в направлении детектора,
45
и те, которые обладают высокой энергией, с большей вероятностью достигнут детектора. В таких условиях представляется разумным концентрировать внимание при расчете именно на таких «ценных» нейтронах. В гл. 5 этой «ценности» придается математический смысл с помощью решения сопряженного уравнения переноса. При расчетах такого рода истории нейтронов начинаются от источника с весом, пропорциональным их ценности. И далее, после каждого столкновения, предпочтительно рассматривать те нейтроны, которые обладают большей ценностью; при этом принимаются соответствующие меры предосторожности, исключающие возможность искажения результата.
Большая часть того, что может быть сказано о методе Монте-Карло, касается, главным образом, детального обсуждения используемой техники и поэтому выходит за рамки этой книги. Заинтересованные читатели могут обратиться к соответствующей литературе [39]. Метод Монте-Карло позволяет решать задачи, для которых многогрупповые методы неприменимы. Тем не менее метод Монте-Карло не нашел очень широкого применения для решения реакторных задач, так как многогрупповые методы значительно проще реализуются и вместе с тем достаточно точны, за исключением упомянутых выше случаев. Однако метод Монте-Карло широко используется при расчетах защиты реакторов.
Приведем координаты точки и углы, характеризующие направление движения нейтрона, а также соответствующие выражения для ?1.УФ (или Q-ViV)''и ^dQ для прямоугольной, цилиндрической и сферической систем координат.
Координаты точки: х, у, z.
Направление Q: %, где [х = Q-z; % — угол между плоскостями, образованными
векторами Qhzh векторами г и х; z и х — единичные векторы в направлениях г и х соответственно (рис. 1.15).
Координаты точки: г, ф, г.
Направление Q: ц, %, где ср — полярный угол; |i = В • г и % — угол между плоскостями, образованными векторами Qhzh векторами/г игг (рис. 1.16).
1.7. ПРИЛОЖЕНИЕ
1.7.1. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ
Прямоугольная система координат
