Теория ядерных реакторов - Белл Д.
Скачать (прямая ссылка):
и IZ1 соответственно. Иначе говоря, Q1 — однородный источник, испускающий 1 нейтрон/сек во всем объеме IZ1, a Q2 — 1 нейтрон/сек во всем объеме V2- В этом случае уравнение (2.98) сводится к
Пусть сечение поглощения в объеме IZ1 имеет постоянное значение O1, а е объеме IZ2 — а2. Тогда интенсивность поглощения в объеме IZ1 нейтронов, рожденных в объеме IZ2, есть также и вероятность того, что нейтрон, равномерно рожденный в IZ2, поглотится в IZ1. Эта величина обозначается P2-1> причем
Аналогично вводится величина P1^2- Из уравнения (2.100) следует, что
В следующем разделе, а также в гл. 8 показано, что это соотношение может быть использовано при решении ряда задач, связанных с рассмотрением гетерогенных систем. Важно отметить, что нет каких-либо ограничений на форму областей 1 и 2 (рис. 2.10). Рассматриваемая на рис. 2.10 область не обязательно должна быть выпуклой, так как она всегда может быть окружена выпуклой поверхностью со свободными граничными условиями, так что уравнение (2.97) может быть использовано.
Для физического осмысливания соотношения взаимности может оказаться полезным следующий эвристический подход. Предположим, что все пространство заполнено однородным и изотропным потоком. Тогда между двумя рассматриваемыми областями нет перетечек нейтронов. Это может иметь место, если источник в каждой области выбран так, что он компенсирует все поглощение, происходящее в данной области, т. е. O1IAk в области 1 и O2IAn в области 2. Тогда O2V2P2^1 — перетечка нейтронов из области 2 в область 1, а
Qr-= —S(I-T1) и Q2 = -б(г —г2),
4 л 4я
Рис. 2.8. Иллюстрации к теореме взаимности: два потока равны.
(2.100)
P2-I s O1 I <fi2(r) dV.
O2V2P2-* і — O1 IZ1 P1-^2.
(2.101)
8/
°iV1Pi-2—в обратную сторону. В силу сделанных предположений два последних выражения равны. Приведенный ранее вывод, конечно, более точен. Он показывает, что результат не зависит от геометрии системы. Как правило, в качестве области 1 удобно рассматривать более или менее регулярную систему топливных элементов, расположенных в замедлителе (область 2), и общее соотношение взаимности в такой геометрии выполняется (см. разд. 2.8.3).
Среда
Рис. 2.9. Пример объема, состоящего из двух областей.
Рис. 2.10. Возможные формы двух областей.
3. Пусть в случае а задан поток входящих нейтронов на внешней границе Фвхд ПРИ отсутствии источников в среде; для случая b ФВх,2 = 0, а в среде задан однородный источник Q2 (г, й) = 1. Тогда уравнение (2.97) принимает вид
/? І п-Й|ФВХі1(г, Й)Ф2(г, — Q)dQdA = J фг(т)йУ. (2.102)
п-Й<0
Случай а, таким образом, представляет собой постановку задачи об альбедо, а случай Ь — о вероятности утечки. Пусть, например, в случае а на плоскую поверхность при х = 0 падает извне единичный поток нейтронов в направлении |л0 (рис. 2.11, а). Тогда
фвх,і(г. fl) = —6(ц —H0).
2я
При определении альбедо требуется найти вероятность отражения нейтронов; от поверхности. Уравнение (2.102) превращается в
Ф2(0, -^0) = J фl(x)dx.
(2.103)
Правая часть последнего уравнения (после умножения на сечение поглощения) описывает поглощение нейтронов в среде. Случай Ь (рис. 2.11, б) эквивалентен задаче о полубесконечной среде с однородным источником. Если известно угловое распределение нейтронов при х = 0, т. е. Ф2 (г,—й) = Ф (0, и), то решение альбедной задачи может быть получено с помощью уравнения (2.103).
Если для случая, описываемого уравнением (2.102), Фвхд изотропно и равно 1/(яЛ), гдеЛ—полная площадь рассматриваемой поверхности, то в случаев на поверхность попадает 1 нейтрон/сек. Пусть Q2 = 1/'(4я1/), где V—объем рассматриваемой области, так что в случае Ь равномерно и изотропно генерируется 1 нейтрон/сек. Тогда на основании уравнения (2.102)
т JJ
ЙФ2(г, Q)dQdA
n-Q>0
=TiJ *‘(г)
d V.
(2.104)
88
Интеграл слева представляет собой число нейтронов, пересекающих поверхность в 1 сек, что есть вероятность избежать столкновения Р, т. е. вероятность того, что нейтрон, рожденный в объеме равномерно и изотропно, покинет его, не испытав ни одного столкновения. При постоянном сечении поглощения интеграл в правой части уравнения (2.102) есть скорость поглощения нейтронов в случае а, деленная на сечение. Его можно обозначить PJo, где Pa — вероятность того, что влетающий нейтрон будет поглощен. Уравнение (2.104) может быть теперь записано следующим образом:
Pa = (AVoIA)P. (2.105)
Полученные выше результаты применимы в случае односкоростного рассмотрения. В гл. 6 будет показано, как они могут быть обобщены с помощью функции ценности. Следует, однако, отметить, что, если в рамках задачи с энер-
? /і
С х D х
а 5
Рис. 2.11. К рассмотрению альбедо.
тетической зависимостью рассматриваются нейтроны данной энергии, всякий процесс, приводящий к уводу нейтронов из данной энергетической группы, может рассматриваться как поглощение. Тогда полученные выше соотношения могут быть использованы, причем энергия нейтронов выступает в качестве параметра, определяющего сечения и источники.
