Теория ядерных реакторов - Белл Д.
Скачать (прямая ссылка):
Так как P, определяемое уравнением (2.108), применимо только для больших тел, в то время как для малых эта вероятность должна быть близка к единице, Вигнер [56] предложил для тел всех размеров приближение, называемое рациональным приближением Вигнера:
п • О > о
Рис. 2.14. Бесконечное полупространство с по-
P и с. 2.15. Хорды, проведенные из элемента поверхности dA.
(2.108).
P
l+4aV IA
(2.109)
91
В табл. 2.8 [57] это приближение сравнивается с результатами точных расчетов для сферы, пластины и цилиндра бесконечной длины; R, определенное ниже, есть средняя длина хорды, так что oR — средняя длина хорды, выраженная в средних длинах свободного пробега. Из таблицы видно, что рациональное приближение дает заниженный результат, хотя часто оно достаточно точно, чтобы использовать его, например, при рассмотрении вероятности избежать резонансного поглощения (см. гл. 8).
Таблица 2.8-
Вероятности избежать столкновения [57]
GR Сфера Цилиндр Пластина Рациональное приближение oR Сфера Цилиндр Пл астина Рациональное приближение
0,04 0,978 0,974 0,952 0,962 1 0,607 0,596 0,557 0,500
0,1 0,946 0,939 0,902 0,909 2 0,411 0,407 0,390 0,333
0,2 0,896 0,885 0,837 0,823 3 0,302 0,302 0,295 0,250
0,3 0,850 0,819 0,785 0,769 5 0,193 0,193 0,193 0,167
0,5 0,767 0,753 0,701 0,667 10 0,099 0,099 0,100 0,091
Оценить P на основании уравнения (2.107) можно следующим образом [58]. Проведем хорды из элемента поверхности dA (рис. 2.15) таким образом, что их число в направлении й пропорционально п • й. Пусть р (R) dR — вероятность того, что хорда имеет длину между R и R dR:
[J \n-Sl\dSldA
p(R)dR = %—_------------- , (2.110)
JJ I n-tl\dQ dA
где Rs заключено между R и R + dR, а интегрирование ограничено областью
п • й > 0. Как было показано выше, знаменатель этого выражения равен
я А. Далее, средняя длина хорды определяется выражением
- ГГR I n-Sl\dQdA
F> = U--------!----- . (2.111);
JJ I n-Q\dQdA
Объем каждой выделенной на рис. 2.13 части равен R|п • й|dA. Поэтому полный объем
\r I h-Q\dA = V.
Следовательно, уравнение (2.111) принимает вид
R = AVIA. (2.112)!
Подстановка (2.110) и (2.112) в (2.107) дает
P = ^l [p(R)[l— ехр( — oR)]dR, (2.113)
oR J
а рациональное приближение (2.109) может быть переписано следующим образом:
" 1 (2.114)
I +oR
Для простых геометрий можно вычислить вероятность р (R), и тогда P определяется прямым интегрированием [59].
92
Рассмотрим в качестве примера бесконечную пластину толщиной а; хорды проводятся таким образом, что их число Btfyi пропорционально и, где |л = cos0 = = a/R (рис. 2.16). Из уравнения (2.110) —р (R)dR = 2цd[i. Поэтому р (R) = = 2а2/R3. Следовательно, уравнение (2.113) можно переписать в виде
В этом случае из (2.112) получаем, что R = 2а. Вычисление интеграла дает
где E3 — интегральная показательная функция третьего порядка (см. Приложение).
Для сферы радиусом а уравнение (2.113) принимает вид [60]
Соответствующие выражения были получены для бесконечного цилиндра, сферы и полусферы [61], а также для конечного цилиндра и куба [62].
Будем считать, что область, для которой рассматривалась вероятность избежать столкновения, — топливный элемент объемом W, окруженный
замедлителем объемом Vm (рис. 2.17). Вероятность избежать столкновения в таком случае эквивалентна P1^2 Для чисто поглощающей среды* (см. разд. 2.7.2), которую удобно обозначить Pf^m-
Теперь представляется возможным найти зависимость между P,m-*f и P с помощью уравнения (2.101) (здесь Pm-*f — вероятность того, что нейтрон, равномерно рожденный в замедлителе, испытает свое первое столкновение в топливе).
Для такой простой геометрии, т. е. изолированного топливного элемента, окруженного достаточно большим количеством замедлителя, соотношение взаимности может быть найдено на основании следующих простых соображений. Предположим, в большом объеме замедлителя плотность равномерных и изотропных источников составляет 1/4я1/д*. Если объем замедлителя достаточно
* Так как P есть вероятность избежать столкновения в среде 1 и, кроме того, нейтрон не должен возвращаться из среды 2, P эквивалентно Pi^2, если при расчете Pi-^2 все столкновения считаются приводящими к поглощению или, иными словами, среда считается чисто поглощающей.
OO
oR J Я3
(2.115)
а
(2.116)
Р = (aa)2_1 +(1 +2аа)ехр( —2аа)].
о (Ж?)
(2.117?
Рис. 2.16. Хорды в бесконечной пластине.
Рис. 2.17. Расположение топлива и замедлителя.
93.
велик, можно считать, что поток в нем такой же, как в бесконечной среде. Следовательно, если сечение замедлителя Ом, то поток
Фвх (г, Й) = ——^------.
4nVM aM
Полное число поглощений в топливе нейтронов, покидающих замедлитель, т. е. Pm-.f, есть тогда
Pm-f = -—1——' ff I п-ЙЦ1 — ехр( — oFRs)]dQdA.
4ламум JJ
п • Я < О
Сравнивая это выражение с Pf->m (2.107) и принимая во внимание, что интегралы имеют одинаковое значение для п • fi>0 и п • й <С 0, можно получить, что
Ом Vm Pm^f = Of Vf Pf^m-
