Теория ядерных реакторов - Белл Д.
Скачать (прямая ссылка):
Это уравнение совпадает с соотношением взаимности (2.101). Аналогичным образом может быть получено уравнение (2.105).
2.8.3. ПОПРАВКА ДАНКОВА
В представляющей практический интерес геометрии, когда топливо расположено в узлах регулярной решетки и каждый топливный элемент отделен от остальных не очень толстым (в средних длинах свободного пробега) замедлителем, изложенный [подход позволяет оценить вероятность того, что нейтрон покинет топливо. Чтобы вычислить Рр->м —вероятность того, что нейтрон, рожденный в топливе, испытает следующее столкновение в замедлителе, надо умножить вероятность избежать столкновения для одиночного элемента на вероятность того, что вылетевший из топлива нейтрон испытает следующее столкновение в замедлителе.
Замедлитель
SI
Рис. 2.18. Периодическое расположение топливных элементов.
Вероятность избежать столкновения (2.107) с помощью выражений (2.111) и (2.112) может быть переписана следующим образом:
f f n - О [1 —ехр (— Rs а)1 dQ dA
P= Л--------- , ----—----------. (2.118)
сг/? Jj n -Q dQ dA
Здесь P — величина, усредненная по направлениям (dSt) и поверхности (dA), а область интегрирования включает такие й, для которых п ¦ й > 0. Для любого элемента поверхности dA и направления й рассматриваемая хорда может быть продолжена за пределы данного топливного элемента до пересече пня со следующими топливными элементами (рис. 2.18). Поэтому при вычисле кии Pf- m вклад данной хорды должен быть представлен с учетом вероятности того, что нейтрон, вылетающий в данном направлении, испытает следующее столкновение в замедлителе:
Il — ехр( — ом Rm1)] + ехр ( — ом Rmi) ехр ( — of Rfi) [I — ехр ( — ом Alll2)] + ...,
94
где exp (—oR) — вероятность прохождения данной среды без столкновения, a I — exp (—oR) — вероятность столкновения. Этот множитель должен войти под знак интеграла в числителе выражения (2.118). Из-за сложности полученного интеграла для его вычисления часто используется метод Монте-Карло. Тем не менее полезное приближение ДЛЯ Pfr^M может быть получено и простым способом.
Введем в рассмотрение вероятности, определенные в предположении, что нейтроны равномерно рождаются в топливе: Pm — вероятность того, что ¦нейтрон, попавший в замедлитель после і пересечений топлива, испытает столкновение в замедлителе; Pp — вероятность того, что нейтрон, попавший в топливо после і пересечений топлива, испытает столкновение в топливе. Тогда
Pf^m = P[P°m + (\-Pqm)(\-P°f) Pm +
4-(1 -Pb) (X-Pl) (X-P1m) (I-P1p) Ph + ...]. (2.119)
В большинстве случаев первые несколько слагаемых этого выражения являются определяющими, и хорошее приближение может быть получено, если заменить все P1f на Pm и все P1f на Pf. Суммирование в выражении (2.119) приводит к такому результату:
Pf~m » P----------~--------¦ (2.120)
1—(1 — Pm) (I-Pf)
Обычно принято полагать Pm = 1—С, где С — так называемая поправка Данкова [63]. Существуют подробные таблицы этой поправки; некоторые значения приведены в табл. 2.9 [64].
Таблица 2.9
Поправки Данкова [64]
га
d/r 0 0,25 0,50 1.0 1 , о 2,0
2,0 0,182 0,170 0,160 0,144 0,132 0,123
2,5 0,136 0,107 0,0849 0,0550 0,0364 0,0245
4,0 0,081 0,040 0,0205 0,0057 0,0016 0,0005
7,0 0,046 0,0094 0,0021 0,0001 — —
10,0 0,032 0,0028 0,0003 — — —
Примечания: 1. Здесь г —радиус цилиндрического топ-
ливного элемента; d — расстояние между центрами элементов; о—макроскопическое сечение замедлителя.
2. Поправки приведены для одного расположенного рядом цилиндрического топливного элемента. Для решетки C=E С., причем суммирование прово-І 3
дится по всем окружающим топливным элементам, а С. берутся из таблицы.
На основании уравнений (2.105) и (2.112) можно написать:
P0f s® oF Rf Р, и тогда уравнение (2.120) принимает вид
Pf^m = P--------—--------• (2.121)'
l-C(l-apRpP) v
Поправка Данкова часто вычисляется для «черного», т. е. абсолютного поглощающего цилиндра; такому приближению посвящено значительное количество работ [65].
Для предварительных поисковых расчетов достаточно использовать рациональное приближение для P (2.114). Тогда уравнение (2.121) принимает вид
(I-C)IRf
Pf^m « —--------• (2.122)
Op + (1 — С)/Rf
При сравнении с уравнением (2.114) видно, что данное приближение эквивалентно увеличению средней длины хорды в 1/(1—С) раз, или, что то же самое, уменьшению поверхности топлива в (1 — С) раз.
Хорошая точность получается также при использовании рационального приближения для Pm = 1—С. Тогда на основании уравнений (2.105), (2.112) и (2.114)
Pm = Ом Rm Pm
ам ^m
'+°m*m
Подстановка этого выражения вместо I — С в уравнение (2.122) дает так называемое полностью рациональное приближение для Pf^m'-
Pf->m&-------1—zr, (2.123)
1 -\-в? Rp
где Rf — эффективная длина хорды;
Я S 1 + ам ^m 10/П
Rf = Rf------=------. (2.124)
ам 1^m
Точность этого приближения такая же, как и рационального приближения Вигнера для P (см. табл. 2.8). Детальное сравнение результатов, полученных различными методами, можно найти в работе [661.
