Теория ядерных реакторов - Белл Д.
Скачать (прямая ссылка):
2.8. ВЕРОЯТНОСТИ СТОЛКНОВЕНИЯ
2.8.1. ВВЕДЕНИЕ
Диффузионное приближение (или Рл/-приближение низ кого порядка) не обеспечивает достаточно точных результатов, если поток бы стро меняется с изменением угла (ц) или координаты (я). Было показано, что это имеет место вблизи локализованных источников и границ или в сильно поглощающих средах (с 1). Часто вместо приближений высоких порядков оказывается полезным применять некоторые специальные методы, основывающиеся на использовании вероятностей столкновения в чисто поглощающих средах [54].
Рассмотрим часто встречающуюся в реакторах ситуацию: ядерное топливо в форме стержней, окруженное замедлителем. В таких случаях оказывается иногда полезным формулировать возникающие задачи с помощью вероятности того, что нейтрон, появившийся в какой-то области, испытает следующее столкновение в той же области. В случае регулярной решетки, например, нейтроны деления появляются более или менее равномерно в топливных элементах. Тогда для вычисления коэффициента размножения на быстрых нейтронах надо опре-дедить вероятность того, что эти нейтроны испытают столкновение в топливном элементе до попадания в замедлитель. Нейтроны, попавшие в замедлитель, теряют энергию. Для вычисления резонансного поглощения можно воспользо-
89
ваться вероятностью того, что замедленный нейтрон испытает следующее столкновение в топливном элементе (см. гл. 8). Вероятности столкновений широко используются также при расчетах, касающихся тепловых нейтронов (в диффузионном приближении) [53].
Типичная задача по определению односкоростных вероятностей столкновения связана с рассмотрением ограниченной области, разбитой на конечное число зон, причем предполагается, что нейтроны рождаются в одной из этих зон равномерно и изотропно. Требуется определить вероятности того, что нейтрон испытает следующее столкновение в той зоне, в которой он родился, или в одной из остальных зон. Часто рассматриваются только две зоны: топливо и замедлитель. Ниже излагаются некоторые общие методы расчета вероятностей столкновения, которые часто используют полученные в предыдущем разделе соотношения взаимности.
2.8.2. ВЕРОЯТНОСТЬ ИЗБЕЖАТЬ СТОЛКНОВЕНИЯ.
МЕТОД ХОРД
Предположим, что нейтроны рождаются равномерно и изотропно в выпуклой области объемом V, содержащей вещество с постоянным сечением а. Рассмотрим нейтрон, рожденный в точке г с направлением й. Если R(г, й) — расстояние от этой точки до границы области (рис. 2.12) в направлении й, вероятность того, что нейтрон покинет рассматриваемую область, не испытав ни одного столкновения, есть ехр [—aR (г, й)]. Ho при равномерном и изотропном источнике вероятность того, что нейтрон родится в элементе объема clV вблизи точки г с направлением dQ вблизи й, равна (dQ/4n) (dV/V).
("-VJdA
о
Q
Рис. 2.12. К вычислению вероятности избежать столкновения.
Рис. 2,13. Разбиение объема при вычислении вероятности избежать столкновения.
Искомая вероятность избежать столкновения P для нейтрона, рожденного в объеме V, находится при интегрировании произведения двух полученных вероятностей по всему объему и по всем направлениям:
P = 4nV Ifexpl^-*Я(Г. Q)]dQdV.
(2.106)
Для оценки этого интеграла объем V разбивается на части так, что каждая из них имеет площадь сечения (п • Q) dA и ось, параллельную выбранному направлению й (рис. 2.13). Длина каждого такого элемента в направлении й обозначается R. Тогда dV = (п * й) dAdR, причем п • й > 0. Следовательно, в уравнении (2.106) можно осуществить интегрирование по R:
P =
1
4 noV
JJ п-й(1—ехр( — oRs))dQdA.
(2.107)
п -Q> 0
90
Если размеры тела велики по сравнению со средней длиной свободного пробега i/о, экспонента под знаком интеграла может быть положена равной нулю, так что интеграл превращается в
где Л — полная площадь поверхности. Таким образом, для случая, когда размеры тела велики по сравнению со средней длиной свободного пробега, уравнение (2.107) принимает вид
P = AtAoV. (2.108)
Численно AIAoV равно доле нейтронов, рождаемых в слое толщиной в одну четверть средней длины свободного пробега (1/4сг), прилегающем к внешней поверхности. Это можно интерпретировать, как если бы все нейтроны, рождаемые в таком слое, покидали рассматриваемое тело.
стоянными источниками и.плоской границей.
Уравнение (2.108) можно получить просто, если предположить, что поверхность «большого» (в масштабах длин свободного пробега) тела плоская. Поэтому рассмотрим бесконечное полупространство с плоской границей (рис. 2.14). В среде имеются постоянные источники, нормированные так, что испускается Q0IAn нейтронов в единице объема в единичном телесном угле в единицу времени. Нейтрон, рожденный в точке 0 на расстоянии х от поверхности с направлением, составляющим угол 9 с осью х, имеет вероятность ехр (—ах/^i) достичь поверхности без столкновений. Полное число нейтронов, попадающих без столкновений на единицу поверхности, получается интегрированием по |1 в пределах от 0 до 1 и по х от 0 до со:
Таким образом, полное число нейтронов, пересекающих поверхность А, есть Q0AiAo, а вероятность избежать столкновения — AlAoV, как н в уравнении
